Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка):
а. Основные свойства волновых функций. Рассмотрим сначала одномерное стационарное уравнение Шредингера с
1 й1
оператором Гамильтона Н =---- + У(х), которое можно за-
2т йх
писать, например, следующим образом:
^ =2т(У(*)- (1.2.1)
(1х
Существование второй производной требует, чтобы функция г]) была непрерывной вместе со своей первой производной. Вторая же производная определяется поведением потенциала У{х)\ если он имеет точки разрыва, то разрывной в этих точках будет и вторая производная. Из физических соображений, связанных с вероят-ностным смыслом |11>(.х)| как плотности вероятности обнаружения частицы в точке х, следует требование, чтобы функции я|) были всюду ограниченными.
Вблизи любой точки х0, где потенциал ограничен, в том числе и там, где он разрывен (см. рис. 1.2.1а), можно написать
= а0 + а,(* - х0) + а2(х - х0)2 + 0(х - х0) , (1.2.2)
где а0, ау и а2 - постоянные величины, 0(х - *0) - функция, при
27
V
Рис. 1.2.1. Ограниченный потенциал К с точкой разрывался) и потенциал с бесконечно высокой стенкой (5).
х -» х0 стремящаяся к нулю быстрее, чем (х - х0)2. Смысл коэффициентов а. достаточно прост:
а0=гК*0) и а,-
s г|>'(*0)>
тогда как коэффициент а2 при наличии точки разрыва различен слева и справа от этой точки и имеет соответствующий смысл половины второй производной г|> по л: слева и справа от д: . Сказанное означает, что если мы нашли решения г^л и г|>п уравнения Шредингера слева (л) и справа (пр) от точки х0, то в" этой точке они должны удовлетворять так называемым условиям сшивания:
^л(*о) = Ч\,Р(*о) и 1>А*о) = ^пр'(^о) • (1-2.3)
Несколько отличные условия возникают тогда, когда потенциал У(х) становится равным бесконечности в некоторой области, например при х * х0 (рис. 1.2.16). В области х
о
соотношение (1) будет иметь смысл, только если г|> всюду в этой области обращается в нуль. Другими словами, в этом случае
28
имеется бесконечно высокая потенциальная стенка, за пределы которой частица не проникает. Слева же от этой стенки функция 1|) имеет обычное поведение, например вида (2), так что по-существу вводится обычное граничное условие: г|>пр(х) = 0 при х = х0, тогда как первая производная г|> '(*) в точке х0 при этом не связана какими-либо условиями (кроме, конечно, условия ограниченности).
Если же потенциал V(x) стремится к ±оо в точке xQ9 скажем по закону V(x) = Х/\х - х0\к, где X - постоянная, а 1 ? к > О, то функцию г|> можно представить в виде
я|>(*) = я0+ Ь\х-х0\* + О(х-х0) , (1.2.4)
где 0 < е < 2 из тех соображений, что вторая производная в этой точке стремится (по модулю) к бесконечности, а вторая производная функции 0(х - х0) должна быть при этом конечной. Условие же непрерывности производной г|>' в точке лг0требует и выполнения неравенства е & 1.
Подставив выражение (4) в уравнение Шредингера и оставив далее только те члены, которые при х—*х0 стремятся к бесконечности, получим, в частности, при к<\\
А е(е - IX* - х0)е"2 = . (1 .2.5)
2т |*-*оГ
Это соотношение выполняется лишь при условии г —2 = -к9
т.е. при е = 2 - к , и одновременно при -А- е(е -1) = Ха0, так что в
2т , г/ \ и
этом случае первая производная в точке д:0: (х0) = о определена через значение функции в этой точке ip(xQ) = а и параметры задачи.
Для потенциала V = X/ \ х - х0 \, как будет показано в § 3 гл. II при решении задачи об атоме водорода, поведение функции при
х * xq определяется выражением Jx - д;0|еа'*~*0', причем параметр
а может быть вещественным или мнимым в зависимости от знака X. Для потенциалов вида V = X/ \ х - х01 * при к > 1 можно получить аналогичные оценки, останавливаться детальнее на которых в рамках данного рассмотрения не имеет смысла. Полученных результатов для нас уже достаточно: они вполне определенно свидетельствуют о том, что наличие особенностей у потенциала приводит к дополнительным ограничениям на значения волновых функций и их первых производных в точках этих особенностей.
При переходе к задачам с большим числом измерений
29
конкретный вид таких ограничений может меняться, однако свойства непрерывности волновой функции и ее первых производных, а также свойство ограниченности яр остаются существенными и в этих задачах. При рассмотрении задачи с кулоновским потенциалом (задачи об атоме водорода, § 3 гл. II) мы еще вернемся к связи значений волновой функции гр и ее производной по радиальной переменной в особой точке этого потенциала.
б. Одномерный прямоугольный потенциальный ящик. В квантовой механике имеется весьма небольшое число аналитически решаемых задач. Задачи, которые обладают простыми решениями, имеют, как правило, весьма важное значение как некоторые модели, аппроксимирующие, по крайней мере качественно, более сложные конструкции и служащие основой для построения более точных подходов. Важным классом таких простых задач являются различные одномерные задачи с прямоугольными потенциалами, когда вся область изменения переменной л: разбивается на отдельные отрезки или интервалы, на которых потенциал предполагается постоянным.
Рассмотрим сначала простейшую задачу о нахождении решений стационарного уравнения Шредингера, когда У(х) равен нулю при х{ ? х ? х2 и обращается в бесконечность вне этого отрезка (рис. 1.2.2). Это - так называемая задача о потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками. Пусть для простоты = -?72, х2 = Ь/2,
