Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка):
10
Определителем, или детерминантом квадратной матрицы А порядка п называется многочлен, каждый член которого - снабженное определенным знаком произведение п элементов матрицы А , взятых по одному из каждой строки и каждого столбца:
2(±а^а2'2"МпО' (°-10)
В этом выражении суммирование проводится по всем перестановкам
/1 2 ... п\
чисел 1, 2, ... , я , и перед произведением берется знак "+", если перестановка четная и знак если перестановка нечетная. Таким образом, многочлен (10) содержит п\ членов, из которых п\12 входят со знаком "+" и п\/2 - со знаком Для определителя матрицы А приняты обозначения сЫА, или Так, для
матрицы второго порядка
(іеіА = сієї
= й11а22 " а\2а2\ \
'а\\ а\2" \а2\ а22/
для матрицы третьего порядка
(1е1А = аиа22ап ~ а]2а2]а33 - апа22ам - апа2Ъаъг + а12а23а3] +
+ а]3а2]аЪ2
и т. д.
Основные свойства определителей:
1°. Определитель не изменится, если в матрице А строки заменить на столбцы, а столбцы - на строки, т.е.если матрицу А транспонировать: (1е1Ат= (1е1А.
2°. Определитель меняет знак, если поменять местами любые две строки (или два столбца) матрицы А; отсюда следует, что если две строки (или столбца) матрицы А пропорциональны, т.е. а..= $ак. для любого у, где (3 - некоторое число, то сЫА = 0.
3°. Общий множитель всех элементов любой строки (или столбца) матрицы А можно вынести за знак определителя.
4°. Определитель не меняется, если к элементам какой-либо его строки (столбца) добавить элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель.
Отметим, что в качестве элементов а.матриц А могут выступать и функции, например а..(х, у, г). Тогда определители й^А также будут в общем случае функциями соответствующих переменных; они называются функциональными определителями.
11
Сумма двух матриц А и В , имеющих одинаковое число строк и одинаковое число столбцов, т.е. двух матриц одинаковой размерности, определяется как матрица с элементами а + Ь..< Произведение С двух матриц А и В определяется как матрица с
элементами ci}= ^aik^ki ; следовательно, для существования
к
произведения С необходимо, чтобы число столбцов у А равнялось числу строк у В. В общем случае произведения АВ и ВА различны, т.е. другими словами, матрицы А и В не коммутируют. Квадратная матрица А, определитель которой не равен нулю, называется несингулярной, или неособенной, в противном случае - сингулярной, или особенной.
Если для квадратной матрицы А найдется такая матрица В, что АВ = Е, то матрица В называется обратной по отношению к А , что обычно указывается просто символом А1. Отметим, что АЛ"1 = А"1 А = Е.
Определитель произведения двух квадратных матриц одной и той же размерности равен произведению их определителей. Отсюда следует, что если у матрицы А есть обратная, то она неособенная, т.к. det(AA') = detA detA-1 = detE = 1. Это же соотношение показывает, что det(A_1) = (detA)1.
в. Поскольку при действии матрицы А на вектор х вновь получается некоторый вектор z , то с учетом (3) можно определить скалярное произведение вектора z и, например, вектора у; так, в ортонормированном базисе
хк
(У, г) = (у, Ах) = ^ У Л - I У]а&хк = ^Ыа1у\
и так как сумма не зависит от обозначения индекса суммирования, в последнем выражении можно поменять индексы I и к местами! Тогда
(у,Ах)^(2(<4)Ч х,-(А*у,х). (0Л1)
I \ к /
где А* - матрица с элементами (а*)^ = д*у, т.е. матрица, одновременно транспонированная и комплексно-сопряженная по отношению к А. Такая матрица называется эрмитово-сопряженной матрице А. В том случае, когда А* = А, матрица называется эрмитовой, или самосопряженной. В вещественном пространстве эрмитова матрица является симметричной.
12
Матрицы, преобразующие векторы пространства 91 без изменения их длины:
х -* Ах, так что (Ах, Ах) = (х, х) для любого х Е 91, называются унитарными, либо в вещественных пространствах -
ортогональными.
Вектор х, сохраняющий с точностью до знака свое направление при действии на него матрицы (оператора) А, но, быть может, меняющий свою длину:
Ах = Хх, (0.12)
называется собственным вектором этой матрицы, а число X -соответствующим ему собственным значением. Соотношение (12) может быть переписано в виде
(А-ХЕ)х = 0, (0.13)
показывающем, что имеется система линейных однородных уравнений относительно неизвестных^; нетривиальное решение у такой системы существует только при условии, что определитель матрицы А - ХЕ равен нулю: det(A - ХЕ) = 0 . Это условие, называемое вековым уравнением, требует обращения в нуль полинома, не превышающего, очевидно, по своей степени числа строк или столбцов квадратной матрицы А, т. е. ее порядка. Определив X как корни такого полинома, далее из системы уравнений (13) можно найти компоненты х-1 вектора х с точностью до некоторого постоянного множителя, общего для всех компонент.
Характерной особенностью эрмитовых и вещественных симметричных матриц является то, что их собственные векторы образуют полный набор, т.е. для этих матриц порядка и, действующих на векторы «-мерного пространства, число линейно независимых собственных векторов также равно п. Следовательно, собственные векторы могут быть выбраны в качестве базиса в 91. К тому же они и ортогональны, так как для двух собственных векторов х и у с собственными значениями Х^ и Х^ справедлива цепочка равенств
