Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Степанов Н.Ф. -> "Квантовая механика и квантовая химия" -> 5

Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.

Степанов Н.Ф. Квантовая механика и квантовая химия — М.: Мир, 2001. — 519 c.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка): stepanov.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 175 >> Следующая

х) = (У' Кх) = (У» Ах) = (АУ> х) = (*>У' х) = Х*у (У' х)> (°-14)
* *
и, если Хх * ку9 то (у, х) = 0, а если Хт = Х^ , то любая линейная
комбинация векторов х и у в силу линейности оператора А будет
вновь собственным вектором с тем же собственным значением.
Поэтому, например, вместо вектора у можно будет взять вектор
с-уХ + с2у, собственный для А с тем же собственным значением,
что и для вектора х, но с такими коэффициентами сх и с2, при
13
которых он будет ортогонален х. Равенства (14) при х = у одновременно показывают, что \ = Ку , т.е. собственное значение эрмитовой матрицы А (или эрмитова оператора А) на произвольном векторе г также всегда вещественно:
(г, Аг)* = (Аг, г) = (г, Аг), (0.15)
г. Для множества функций ф15 ф9, фг, ... также можно определить операции сложения и умножения на число с удовлетворением всех требований, предъявляемых к операциям векторного пространства. Следовательно, это множество может рассматриваться как линейное (векторное) пространство, элементами (векторами) которого служат функции ф7. Естественно, что в зависимости от того, как определены эти функции, могут получаться разные пространства: например, пространство в непрерывных на отрезке [а, Ь] функций фДх) отлично от пространства функций, непрерывных на этом отрезке вместе со своими первыми производными; пространство функций, обращающихся на концах этого отрезка в нуль: ф(а) = ф(Ь) = 0, отлично от пространства функций, обращающихся на одном из концов, скажем а, в нуль вместе со своей первой производной и т.п.
Тем не менее, для таких функциональных пространств пригодны многие понятия и результаты, получаемые в конечномерных пространствах. Здесь также можно ввести скалярное произ-. ведение функций ф^ и фу, обозначаемое либо как (ф/9 фу), либо, что более часто используется в квантовой механике, как < ф^ | фу >, и удовлетворяющее аксиомам, аналогичным (2):
1°. <ф,|ф; > = <Фу|ф/ >* ;
2°. <Дф, ф7- > = Д*<Фу|ф| > (а- число); (0.16)
3°. <Ф/ +Ф;|ф* > = <Ф;|ф* > + <Ф;|ф* >; 4°. < ф^|ф^ > г 0, равенство выполняется только при ф, = 0.
Под символом скалярного произведения < ф ф > могут подразумеваться весьма различные операции, лишь бы при этом выполнялась совокупность требований 1°-4°. Пространство функций, в котором определено скалярное произведение (16) в физике часто называют гильбертовым, хотя это определение несколько отлично от того, что подразумевают под гильбертовым пространством в математике (где требуется еще и полнота относительно нормы, порождаемой этим скалярным произведением, тогда как в отсутствие этого требования пространство называется предгильбертовым, или унитарным).
14
В квантовой механике для функций ф, скалярное произведение обычно определяется интегралом вида
со
<ф. ф; >= ^ф!(ДС)ф (0Л7)
— СО
если функции зависят от одной переменной х, либо интегралом по всей той совокупности переменных, от которых зависят функции ф; и фу. Такое пространство функций носит название пространства 82. Норма функции ф, в этом пространстве (аналог длины вектора), определяется как ||<р,|| =<ф/|ф, >^2, причем для пространства 22требуется, чтобы норма была конечна: < ф, ф, >1'2 ? °о.
Функции, скалярное произведение которых равно нулю, называются ортогональными, тогда как функции Ф;/||ф^| -нормированными. Множество функций, взаимно ортогональных и нормированных, называется ортонормированной системой функций. В гильбертовом пространстве (понимаемом в математическом смысле этого термина) существуют так называемые полные ортонормированные системы функций ф., или базисные системы, обладающие тем свойством, что любая функция ф из этого пространства может быть представлена в виде ряда
Ф = 2)с/Ф1' с\= <Ф/|ф| >» (°-18)
носящего название ряда Фурье для этой функции. В "физическом" гильбертовом пространстве положение с представлением функций Ф в виде рядов Фурье сложнее, в силу чего на более детальном обсуждении этих вопросов мы здесь останавливаться не будем. Отметим лишь, что наряду с суммами вида (1 8) в этих пространствах появляются и интегралы Фурье от множества функций, дополняющих набор входящих в сумму (1 8) функций до полного.
Точно также, как и в конечномерных пространствах, в функциональных пространствах (в общем случае бесконечномерных) могут быть введены преобразования функций, т.е. операторы А, различные по своим основным свойствам, матричные элементы операторов, представляемые скалярными произведениями функций ф, на преобразованные оператором А функции фу:
Ац =<ф/|А|фу > (0.19)
и т. п. Здесь также могут быть выделены линейные операторы и проведена их классификация, в частности, определены симметричные и кососимметричные операторы, эрмитовы, унитарные и другие типы операторов. Подробнее все эти стороны теории операторов
15
будут излагаться по мере представления аппарата квантовой механики. Отметим лишь, что при необходимости получить более полную (и подчас более строгую) информацию можно обратиться к соответствующей учебной литературе либо, например, к "Математическому энциклопедическому словарю" (М.: Советская энциклопедия, 1988), энциклопедии "Математическая физика" (М ¦ Большая Российская энциклопедия, 1998), либо к книге Г. Корн и Т. Корн "Справочник по математике для научных работников и инженеров", издававшейся несколько раз, начиная с 1968 г. (в переводе с английского).
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 < 5 > 6 7 8 9 10 11 .. 175 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed