Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Степанов Н.Ф. -> "Квантовая механика и квантовая химия" -> 9

Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.

Степанов Н.Ф. Квантовая механика и квантовая химия — М.: Мир, 2001. — 519 c.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка): stepanov.djvu
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 175 >> Следующая

ih^ = EX{t), (1.1.12а)
ЯФ(г) = ?Ф(г). (1.1.126)
Первое из этих уравнений, как нетрудно убедиться прямой подстановкой, имеет решение х(0 =Aexp(-iEt/h\ где А - некоторая постоянная. Второе уравнение (126) решать существенно труднее, для большинства задач аналитических решений у него вообще нет. Поэтому приходится вводить численные методы и различные
24
приближенные подходы, приближенные модели для поиска его решений.
Уравнение (126), носящее название стационарного уравнения Шредингера, и будет основным предметом нашего рассмотре ния в последующем изложении. Входящая в него постоянная Е имеет ту же размерность, что и оператор Гамильтона, а именно размерность энергии. Более того, как будет показано в § 2, эта постоянная имеет смысл энергии квантовой системы в состоянии, определяемом волновой функцией Ч* = Ф(г)х(0> сомножители которой удовлетворяют уравнениям (12).
Следует заметить, что уравнение (126) в общем случае, конечно, может иметь не одно решение. Разные решения Ф^ будут в общем случае отвечать разным энергиям Ек , хотя возможны к тому же и такие ситуации, когда одной и той же энергии отвечает несколько разных функций состояния Фк/ (/ = 1, 2,..., л).
е. Система единиц. В квантовой механике атомов, молекул, образованных из них комплексов, кластеров и т.п. объектов удобно пользоваться не теми системами единиц, которые разработаны для макроскопических количеств вещества, например СИ, а теми, которые специально адаптированы к рассмотрению микроскопических объектов. Одной из наиболее часто используемых является атомная система единиц, в которой за основные принимаются следующие:
- единица длины, называемая бор; 1 бор = 5,2917706-10~" мвСИ;
- единица массы т, равная массе покоя электрона, т. е. т = = 9,109534-Ю-28 г;
- единица заряда е, равная абсолютной величине заряда электрона, т. е. е = 1,6021892-10 19 Кл (кулон);
- постоянная Планка Й, равная 1,0545887-10 34 Дж-с.
Эти атомные единицы обычно обозначаются как а.е. массы, а.е. длины и т.п. Через них определяются и другие единицы, например импульса, времени и энергии. Выбор единицы длины определяется тем, что простейшие атомные и молекулярные объекты имеют средние размеры порядка нескольких или нескольких десятков бор; сама же единица 1 бор определена как так называемый боровский радиус для электрона в основном состоянии атома водорода (см. §3, гл.И). Более подробная сводка единиц представлена в Приложении I.
Вид уравнения Шредингера при переходе к атомной системе единиц упрощается. Например, для рассмотренного
25
примера атома Не уравнение Шредингера с гамильтонианом (9) становится таким:
( 1 л 1 л 1 л 2 2 Мш
I-=--Дп--Ат--Д2----+ — Ф
д1 \ 2М 2 2 Яа1 Яа2 ги) > поскольку А = 1, в = 1 и /и = 1. Выражение для временного сомножителя в функции Ф в этом случае также приобретает чуть более простой вид: х(0 = Аехр(-/?/).
ж. Чистые и смешанные ансамбли. Таким образом, мы ввели основные положения, определяющие состояние квантовой системы, и то основное уравнение движения (уравнение Шредингера), которое позволяет, в принципе, получить функцию состояния такой системы. С функцией состояния далее вычисляются средние значения наблюдаемых величин, характеризующих эту систему.
В квантовой статистической механике, т.е. при наличии большого числа частиц (например, слабо взаимодействующих подсистем - атомов или молекул) имеют дело с состояниями, в которых можно определенно указать лишь вероятность Р{ обнаружения того или иного состояния подсистемы, описываемого волновой функцией гр;. Следовательно, здесь уже нельзя ввести какую-либо волновую функцию Ф системы, удовлетворяющую уравнению Шредингера. Можно говорить лишь о некотором "смешанном" состоянии, для которого каким-либо способом определены вероятности обнаружения "чистых" состояний, описываемых волновыми функциями, удовлетворяющими уравнению Шредингера. Такие системы обычно называют смешанными ансамблями, в отличие от чистых ансамблей, находящихся в определенных квантовых состояниях и определяемых каждое своей волновой функцией г|ь Поскольку проблемы квантовой статистической теории далее по-существу затрагиваться не будут, то речь ниже будет идти лишь о чистых ансамблях. В следующем параграфе мы более детально остановимся на свойствах волновых функций и на ряде математических аспектов квантовой механики.
Задачи
1, Написать выражение для оператора квадрата момента импульса I? = Ь2Х + \}у + Ь22 .
2. Написать оператор Гамильтона для атома 1л; для иона Н? \ для молекулы 1лН.
26
3. Пусть имеется свободная квантовая система, гамильтониан которой явно от времени не зависит. Пусть в момент времени / = О волновая функция (функция состояния) имеет вид: Ч1 = = с 4е, + с2Ч*2, где с, и с2 - некоторые постоянные, а Чг1 и Ч*2 удовлетворяют стационарному уравнению Шредингера для энергий Е и Е^ соответственно. Как будет выглядеть волновая функция в момент времени /?
§ 2. Простейшие одномерные задачи
Введение основных положений требует и развития определенного аппарата теории, а также обсуждения ряда вопросов, носящих вспомогательный характер, но определяющих структуру многих квантовомеханических выражений. Прежде всего имеет смысл остановиться на небольшом числе простых задач, иллюстрирующих то, как и какие рассуждения проводятся и какие результаты получаются в квантовой механике.
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 175 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed