Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Степанов Н.Ф. -> "Квантовая механика и квантовая химия" -> 12

Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.

Степанов Н.Ф. Квантовая механика и квантовая химия — М.: Мир, 2001. — 519 c.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка): stepanov.djvu
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 175 >> Следующая

2- 1395
33
равен некоторой конечной величине У0 > 0 прих& 0 (см.рис. 1.2.3). Слева от нуля (х < 0), т.е. в области I, уравнение Шредингера имеет следующие решения:
= Ахе1кх + Вхе~1кх = ахсо%кх + Ьргпкх, где а{ = Ах + 515 а Ьх = (Л! - Я^/. Ради простоты получаемых выражений будем пользоваться экспоненциальным представлением функций г|)1л. Постоянная к определяется непосредственно
из уравнения Шредингера (-сР/с1х2)\\)1 = 2тЕ^х, так что к = ы2тЕ ,
где т - масса частицы, Е - ее энергия. Аналогично в области II (х ^ 0) решение уравнения Шредингера (-<Р/сЬс2У^11 = 2т(Е - У0)г|>п может быть записано в виде
а) при Е > У0
ЦПа=Апе™ +Впе-™, к = рт(Е-У0);
б) при 0 < Е <; У0
Поскольку X в 1рпь - действительная положительная величина, а волновая функция прих —* оо должна оставаться ограниченной, то очевидно, что коэффициент а следует выбрать равным нулю, так что г|>116 = Ье~^.
V
1 .
0 Л"
Рис. 1.2.3. Прямоугольная ступенька потенциала.
Функции и г|>п, так же как и их производные, должны быть "сшиты" в точке х = 0, т.е. в этой точке они должны быть непрерывны. Эти два условия приводят к следующим ограничениям на коэффициенты в выражениях для функций г|>т и г])..:
34
а) при Е > У{
о
А„ = оА, - РЯ„ Вп = -рА, + аВ„ где а = -^±-^, р = (1.2.12)
б) при Е < V
о
I 2к . „ 1к + X .
ь-Т7а.А'¦ в'¦ Л^1А'¦ (|-2ЛЗ)
Таким образом, в данной задаче, в отличие от предыдущей, решения существуют при всех Е > 0. Эти решения, однако, различаются по своему поведению справа от точки разрыва для потенциала: над потенциальной "ступенькой" грц представляет собой линейную комбинацию двух экспонент от мнимого аргумента, или, что то же, линейную комбинацию синуса и косинуса юс, тогда как под ступенькой - это затухающая экспонента е_Ъг, стремящаяся к нулю тем быстрее, чем больше X, т.е. чем ниже соответствующий уровень энергии. В классической механике такому потенциалу отвечало бы два типа движения: при Е > У0 материальная точка (шарик) двигалась бы, например, слева направо (от некоторого значения х < 0 при t = 0) равномерно со скоростью V., равной ее скорости в момент времени I = 0 и кинетической энергией ту.2/2; далее при прохождении над ступенькой ее энергия не менялась бы, а скорость уменьшалась скачком до величины у = д/2т(? - У0) , а при Е - У0 она в этой точке останавливалась бы. При Е < У0 картина иная: дойдя до ступеньки, материальная точка отражается от нее и с такой же (по абсолютной величине) скоростью, что и V/, идет назад.
Попробуем теперь понять соответствующую картину движения в квантовой механике. Для этого прежде всего нам нужно записать решения временного уравнения Шредингера на основе уже полученных решений стационарного уравнения. Любое частное решение имеет вид
г|>(*, 0 - г|>(*, Е)е~1Е\ (1.2.14)
тогда как общее решение временного уравнения есть не что иное, как произвольная линейная комбинация таких частных решений:
г|>(*,0= 1сп^п{хДп)е-^, (1.2.15)
П
или, если учесть, что Е может принимать любое положительное значение, т. е. любое значение на полуоси [0, о°), вместо линейной
2*
35
комбинации (15) может выступать и определенный интеграл вида:
t|)(jc,i)= ?c(E)ty(x,E)e-lEtdE . (1.2.16)
?i
В этом интеграле функция с(Е), так же как и коэффициенты сив линейной комбинации (15), полностью должна определяться заданием начальных условий ty(x, t = 0).
Для того, чтобы в дальнейшем детальнее понять поведение функции г|>(х, t) в общем случае, имеет смысл посмотреть сначала, что она собой представляет в том частном случае, когда выписано решение (14) при некотором фиксированном значении энергии Е. Так, для функции имеем:
Ч*] шЩе-™ = A{ei{kx~Et) +Я1е-|'(* + ?'). (1.2.17)
Выражение Ае1^'^ , как хорошо известно из общего курса физики, представляет монохроматическую волну с амплитудой Л и круговой частотой о = Е, распространяющуюся в положительном направлении х с (фазовой) скоростью v = Elk = 4Е I 2т . Аналогично Ве~1(<кх+Е^ представляет такую же волну, но распространяющуюся в обратном направлении. Эти выражения можно записать
и в виде Ccos(kx ± ш + у), где С равно, например, А(1 + i) I \I2 , а Y - фаза волны, равная при использовании вышеприведенных выражений ±л/4 .
Линейная комбинация двух волн, распространяющихся в противоположных направлениях, при определенном соотношении коэффициентов А и В дает стоячую волну, представляемую, например, выражением вида Ф = af(kx + b^-cosfat + б2), где а, б, и 62- некоторые постоянные, а/ - некоторая функция, равная, в частности, синусу или косинусу аргумента кх + б,. Если сравнить это выражение с (14), то несложно убедиться, что они по своей сути одинаковы (при этом роль/играет , а в качестве временного
множителя вместо cos(co/ + 60) выступает е~т% так что стационарные решения уравнения Шредингера в отличие от других возможных решений, например типа (15), представляют, по-существу, стоячие волны, квадрат модуля которых пропорционален плотности вероятности обнаружения частицы в той или иной точке пространства.
Продолжим теперь рассмотрение поведения частицы вблизи ступеньки потенциала. Выберем в качестве начального состояния этой частицы такое, когда В{ = 0, т.е. волна при
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 175 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed