Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка):
Если потенциал произвольной квантовой системы при стремлении пространственных переменных к бесконечности стремится к некоторому конечному значению У(°°), то при Е < У(оо) у волновой функции будет наблюдаться такого же типа экспоненциальное затухание, а если одновременно и Е < К(-оо), то у системы будет дискретный спектр. В противном случае, если Е больше хотя бы одного предельного значения, то, как правило, у системы появляется непрерывный спектр. Непрерывный спектр характерен и для задач с периодическими потенциалами, заданными во всей области изменения переменной х (такие потенциалы обычны при рассмотрении задач о твердом теле). Правда, для многомерных задач положение может оказаться не столь простым, однако на подобных, более сложных, ситуациях мы пока останавливаться не будем. Будем лишь считать, что функции дискретного спектра нормируемы на единицу, тогда как функции сплошного спектра всюду ограниченны и нормируемы на 5-функцию.
г. Ортогональность собственных функций эрмитовых операторов. Пусть теперь у некоторого эрмитова оператора Л имеются две собственные функции яр] и яр2 с разными собственными значениями ах и а2 соответственно. Рассмотрим сначала интеграл вида
<Чм|А|г|м >=/гр!Ляр1Л-а1^яр^1Л . (1.3.8)
48
Воспользовавшись эрмитовостью Л, можем далее написать . <яр,|А |яр,> = <Аяр, 1Ч>,> *
= |(Л'ф1)*гр1Л = $(ахЦх)*Цх<Н = а\ /Ч^Ч^ ¦
Коль скоро левые части в этих цепочках равенств одинаковы, должны совпадать и правые части, что вполне определенно свидетельствует о том, что ах должно быть вещественным. По существу, этот результат у нас уже был получен в п. б, где речь шла о средних значениях вида <яр|А |яр>. Равенство (8) к тому же показывает, что если функция яр, (или яр2) нормирована на единицу, среднее значение оператора А на такой (собственной для него) функции равно собственному значению.
Перейдем теперь к интегралу, включающему обе функции:
<т|)1|Л|Ц)2 >ЯЕ^г1>*1^2Л=! а2/^1^2^- (1-3-9)
Такой интеграл в общем случае для произвольных функций яр, и яр2 носит название матричного элемента оператора А на этих функциях. Поскольку оператор А эрмитов, опять-таки можно далее преобразовать интеграл (9):
<ЧЧ[А|Ч>2 > = < А^\\^2 > =/(Аяр1)*яр2Л = а\$ЧМЧ>2Л-
Но ах как собственное значение эрмитова оператора вещественно. Сравнивая правые части (9) и этой последней цепочки, приходим к равенству:
а^яр, |тр2> = <% \А\%> = ах<Цх\%>.
Если а2 * ах, то это равенство будет выполняться только при условии <яр]|тр2> = 0. Две функции, удовлетворяющие такому соотношению, называются (взаимно) ортогональными. Следовательно, собственные функции эрмитова оператора, принадлежащие различным собственным значениям, должны быть ортогональны.
Пусть теперь две собственные функции ф и яр эрмитова оператора А принадлежат одному и тому же собственному значению, например а (в этом случае говорят, если, конечно, эти функции не пропорциональны друг другу, что это собственное значение двукратно вырождено). Тогда воспользоваться теми же рассуждениями, что и приведенные выше, уже нельзя. Однако можно вспомнить, что эрмитов оператор линеен. Если взять вместо функций ф и яр их линейную комбинацию с,ф + с2тр, то при действии на эту комбинацию оператора А без труда можно установить, что
49
она также является собственной для А с тем же собственным значением а:
Л(с)ф + с2яр) = с,Аф + Су4гр = а(с,ф + с2яр). Запишем интеграл
<яр|с,ф + с2яр> = с1<гр|ф> + с2<яр|яр>
и подберем коэффициенты сх и с2 так, чтобы правая часть этого равенства обратилась в нуль. Ради простоты при этом будем предполагать, что функция яр обладает интегрируемым квадратом модуля. Следовательно, с2 можно выбрать равным -с1<гр|ф>/<гр|яр>.
< яр|ф >
Тогда новая функция Ч1 = с,ф + слр = с (ф - -:-яр) будет
1 1 < яр яр >
собственной для А с собственным значением а и, кроме того,
ортогональной яр, так что вместо двух исходных функций ф и яр
можно взять без потери общности эквивалентный им набор двух
линейно независимых функций яр и Ч1, которые уже являются
взаимно ортогональными.
Таким образом, собственные функции эрмитова оператора всегда можно считать взаимно ортогональными, независимо от того, принадлежат ли они разным или одинаковым собственным значениям. Для дискретного спектра они к тому же могут быть выбраны нормированными на единицу. Средние значения оператора Л на таких функциях, как уже было сказано, равны соответствующим собственным значениям А на исходных функциях.
д. Полнота системы собственных функций эрмитова оператора. В задаче о потенциальном ящике с бесконечно высокими стенками мы получили собственные функции
л = 1,2, ... (-1/2 5X5 1/2), (1.3.10)
которые при таком выборе постоянного множителя перед синусом нормированы на единицу и, как нетрудно убедиться, взаимно ортогональны. Ради простоты дальнейших рассуждений сместим начало отсчета для координаты х на Ь/2 влево, т.е. поместим начало отсчета у левой стенки потенциального ящика. Тогда функции Ч/п перепишутся так:
^=^1пух, /1 = 1,2,...(05x^1), (1.3.11) Эти функции на концах отрезка [0, Ь] обращаются в нуль. Хорошо
