Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка):
2. Пусть в классической функции Гамильтона для одной частицы встречаются слагаемые хр\ и хр2у . Как построить отвечающие им квантовомеханические операторы, которые являются эрмитовыми?
3. Найти следующие коммутаторы: [х, р ], [х, р ], [х2, р ], [х, р\ ], [х, ?], [х, ЬуЪ [рх, Ьх], \рх, Ьу], [ р2х,1?у ]/
§4. Матричное представление операторов
о. Разложение по базису. Функция ф, которая получается при действии линейного оператора А на некоторую функцию яр: ф = = Ляр, предполагается обычно принадлежащей тому же пространству 82, что и исходная функция яр. Если в этом пространстве
53
выбрать базис, например из собственных функций х, эрмитова оператора В:
= Ьіхі(і= и 2,...), то обе функции, ф и яр, можно разложить в ряд по функциям Хг
00
00
так что будет справедлива последовательность равенств:
(1.4.1)
00
00
00
Умножим слева обе части равенств на у?т и проинтегрируем по всему пространству изменения переменных. Тогда с учетом ортонормированности базисных функций хк, собственных для оператора В, получим:
со
М-
т
1=1
(1.4.2)
так что коэффициенты \хт разложения функции ф определяются коэффициентами X. разложения исходной функции и интегралами Ат1 = <хт\А\х>, которые, как уже говорилось, называются матричными элементами оператора А (в базш з функций х,)- Задание матричных элементов А полностью определяет результат действия оператора А на произвольную функцию яр рассматриваемого пространства. Если бы пространство, в котором определен базис из функций х^ было конечномерным, например /=1,2, М, то числа Ат. образовали бы обычную квадратную матрицу с номерами строк, определяемыми индексом т, и номерами столбцов, определяемыми индексом /. В этой записи матрица А оператора А имеет вид:
А =
(А
п
А
12
Л21 Л22
А2М
А А А
(1.4.3)
В общем случае ^бесконечномерно, так что матрица А также имеет бесконечное число строк и столбцов.
Запись функций ф и тр в виде рядов (1.4.1) предполагает, что базисные функции относятся к дискретному спектру. Можно
54
было бы написать вместо эти рядов более общие выражения, включающие интегралы по функциям непрерывного спектра, однако ни здесь, ни далее делать этого не будем, чтобы не загромождать текст; лишь тогда, когда такая запись потребуется специально, будем выписывать все необходимые слагаемые.
Возвращаясь вновь к соотношениям (2) для конечного числа измерений, мы можем написать не только числа <хт\А\х> в виде матрицы, но и представить коэффициенты цт и X. в виде векторов-столбцов
Иі 1 ^2
х =
^2
(1.4.4)
что позволяет переписать (2) в весьма компактном матричном виде:
\х = АХ. (1.4.5)
Векторы \1 и X в общем случае, как и матрица А, бесконечномерны.
Вектор-столбцы (4) и матрица (3) полностью определяют функции ф и яр, а следовательно, и переход от яр к ф с помощью оператора А. Эти векторы и матрицы носят название матричного представления функций и операторов в базисе функций хг Матричное представление позволяет перейти от тех или иных операций над функциями к простым операциям сложения и умножения, выполняемым с этими матрицами. Кроме того, оно позволяет выделять из всей матрицы определенные блоки, приближенно представляющие всю эту матрицу, если, например, остальные матричные элементы малы и ими на начальном этапе рассмотрения задач можно пренебречь.
б. Потенциальный ящик. Попробуем в качестве примера найти матрицы, представляющие операторы координаты л: и
импульса Р~-&(у/?с Для задачи о потенциальном яшике с
бесконечно высокими стенками. Используя волновые функции для этой задачи, выписанные в п. б § 2, можно вычислить и матричные
55
элементы. Для оператора координаты они будут следующими:
2
xmnmfVm (*Н> п(х) = J? SII1
О О
1 г
= — Ґ JCCOS
L Ыт-п) > —-- jt
о
V
L
і
Km \ . (кп \ , -х jcsin —х ах =
L } \L }
dx - —Jjccos ^ о
V
dx,
где использовано соотношение 2sinasinp = cos(a - (3) - cos(a + Р).
1
Интегралы j х cos Xjc ??c = — fx dysin kx) можно взять по частям,
что приводит к соотношениям (т * п):
8L тп
— , если т - п нечетно, и
л - /г) (т + /г) jc =0, если т - п четно.
тп
Кроме того, х^т~ L/2. Следовательно, матрица X оператора
координаты будет иметь вид:
1 16 0 48 32
2 16 9л2 1 225л2 0 96
~9л2 0 32 2 48 25 л2 1
25л2 0 2 96 49 л2 1
225л2 49 л2 2
7
(1.4.6)
Аналогично можно найти и матрицу оператора импульса р :
/ \ 4 тп / \ л
(Рх ) = --9 есЛи т-п нечетно, и (»г ) = 0, если /г? - п
четно, в том числе при т =п\
Р = -?Й
L
(О 2/3 0 4/15 -2/3 0 6/5 0 0 -6/5 0 12/7
(1.4.7)
56
Зная эти матрицы, можно сразу же сказать, что будет получаться при действии оператора координаты или импульса, а также различных их произведений на произвольную функцию, Заданную на отрезке [0, Ц и обращающуюся в нуль на концах его. Так, собственной функции яр отвечает вектор из коэффициентов X, у которого лишь первая компонента равна 1, а все остальные равны 0. Следовательно, при действии на яр] оператора координаты получается функция ф =
= лор] = ^ ц,-'ф,-, у которой коэффициенты [I. определяются матрич-/-1