Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка):
Выпишем интеграл от квадрата модуля яр, задаваемой выражением (16), по всей области изменения переменной:
оо —со
ОС
= $йх]^с\Е')ц\х-Е')ет''№Ъс(Е)Ц(х-,Е)е-'Е'(1Е
-00
Меняя в последнем выражении порядок интегрирования (в предположении, что все необходимые для этого условия выполнены),
39
приходим к следующему равенству:
ЛГ2 = $йЕ' йЕ с\Е')с(Е)еКЕ'-Е)1($<Ьсц\х^ (1.2.20)
Интеграл, заключенный в скобки, отвечает в случае задачи с достаточно большим ящиком нормировочному интегралу для волновой функции гр(лг; ?), а при Е'* Е, т.е. при п'* п этот интеграл обращается в нуль. Постараемся сохранить такое свойство рассматриваемого интеграла в общем случае, положив
$<1хЦ*(х;Е'Шх\Е) = Ь(Е'-Е), (1.2.21)
причем функция Ь(ЕГ - ?), называемая 5-функцией Дирака, обладает двумя на первый взгляд простыми свойствами:
а) Ь(Е' - Е) = 0 при Е' * Е;
б) /(Е')Ь(Е'-Е) = /(?), если ? принадлежит отрезку
[Ег, Е2]9 и равен нулю, если Е этому отрезку не принадлежит.
Полученная при таком подходе нормировка функции Ц)(х\ Е) называется нормировкой на 6-функцию.
Соотношение (20) при этом переходит в следующее:
Ы2 ^11ёЕЧЕс*(Е')с(Е)еКЕ,-Е)1Ь(Е''Е)=1((Е\с(Е)\2. (1.2.22)
Коль скоро по исходному построению последний интеграл конечен, то для нормировки всей функции Ч* достаточно потребовать, чтобы вместо исходной функции с(Е) в интеграле стояла функция с(Е)/Ы , отличающаяся от исходной лишь числовым множителем.
Без сомнений, нормировка на 6-функцию пока что выглядит довольно формальной процедурой. Потребовались годы для того, чтобы обосновать существование 5-функций, построить последовательности обычных функций, стремящихся к 5-функциям, показать, каковы свойства 5-функций помимо уже упомянутых и т.д. Эти конструкции привели к обобщению обычного понятия функций и к введению представлений о так называемых обобщенных функциях. Нам пока нет смысла заниматься всеми этими проблемами, ибо они нас уведут в сторону от основных вопросов. По этой причине будем просто полагать, что такие функции существуют и что нормировка на них может быть осуществлена, например при предельном переходе от некоторых, достаточно больших, но конечных пределов интегрирования к бесконечным пределам.
40
Так, для свободной частицы решениями уравнения Шредин-гера будут следующие:
у(х; Е)=Ае1кх + Ве** (к = ^ЪпЁ )• Возьмем частные решения при В = 0: ф = Аке'кх. Интеграл от произведения \\?*(х\ Е')\\?(х; Е) двух таких функций на конечном отрезке от до +Ь будет иметь следующий вид:
/*(?',?) = $Ц{х\Е'Шх\Е)<1х = А*к.Ак $е1{к-к')хЛх =
= 2Ак'Ак —*-— .
к к к-к'
В этом выражении величины Ак и Ак - конечны и постояны, тогда как функция Б'т(к - к')Ы(к - к') имеет вид, изображенный на рис. 1.2.4. По мере увеличения Ь точки пересечения ее с осью абсцисс стягиваются к нулю, а высота основного пика растет пропорционально Ь. К тому же известно, что интеграл от этой функции, например по к, равен конечной величине:
Рис. 1.2.4. Функция/^ вт(*'- к)Ы(к- к).
41
женной на числовой множитель, определяющий в конечном итоге нормировку функции яр(л;; Е).
Отметим, что сводка основных формул, определяющих свойства 5-функций, дана в Приложении 2.
Задачи
1. Найти собственные значения и волновые функции для частицы, если она находится в потенциале, заданном следующими соотношениями:
а) при х < О V- о°; при 0 ^х^Ь У=Оиприх>Ь У=Уо>0;
б) при |д:
в) при |*
>Ш У=0\ при -Ь/2 *х*+Ш У = -Уо<0\ >Ы2 У=0; при -Ь/2*х*+Ь/2 У=Уо>0. 2. Для частицы в яме с бесконечными стенками найти средние значения операторов хр, рх, х2р и р2х.
§3. Математический аппарат квантовой механики
Операторы, отвечающие физическим величинам, должны удовлетворять ряду требований, которые следуют как из общих физических соображений, так и из тех постулатов, которые были сформулированы в §1.
а. Линейность операторов. Общий вид тех операторов, которые были введены выше, показывает, что эти операторы являются линейными. Линейность оператора означает, что действие его на сумму двух функций приводит к сумме двух функций, каждая из которых есть результат действия этого оператора на каждую отдельную функцию исходной суммы:
1°.Цф + яр) =?ф + /др (1.3.1а)
и, кроме того,
2°./,аяр = о1лр, (1.3.16)
где а - произвольное число. Иногда оба свойства записывают в общем виде:
?(с,ф + с2яр ) = с{Ь<р + с2Ь\\), (1.3.2)
где с, и с2 - числовые коэффициенты.
Линейность оператора Гамильтона носит весьма фундаментальный характер: поскольку уравнение Шредингера в этом случае также является линейным, это позволяет вводить нормировку волновых функций (за счет умножения на число а). Кроме
42
того, если ф и яр - два решения временного уравнения Шредингера, то любая их линейная комбинация Ч* = ^ф + с2яр также будет являться решением этого уравнения, и коль скоро у нас нет критериев, какие из этих решений не отвечают физической картине мира (кроме очевидного условия конечности волновой функции), то с самых ранних этапов создания и развития квантовой механики в ней было введено утверждение, носящее постулативный характер и получившее название принципа суперпозиции: если ф и яр -волновые функции двух физически реализуемых квантовых состояний, то всегда можно создать такие начальные условия, при которых произвольная линейная комбинация этих функций будет волновой функцией физически реализуемого квантового состояния.
