Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка):
36
отрицательных значениях л: распространяется слева направо. При таком условии, как показывают соотношения (12), на правой полуоси (для Е > У0):
АпшЧгАх* В11~~ЧгАх- (1-218)
Поскольку Ап стоит перед экспонентой, отвечающей распространению волны в том же направлении (слева направо), а Ви -перед экспонентой, отвечающей распространению волны в противоположном направлении, то можно сразу же сказать, что после прохождения над барьером-ступенькой возникают волны, распространяющиеся и в том, и в другом направлении, причем соотношение амплитуд этих волн Вп/Ап определяется тем, насколько близка энергия частицы к высоте ступеньки У0:
2
к-к л12^Ё-рт(Е-Ур) (У^Ё-л/^ -Ур) к + к 4ъпЁ + ^2т{Е-Уъ) У0
При Е » У0 |л ш 0, тогда как при Е -» У0 ц —» 1. Если бы у нас была возможность поставить на пути распространения частицы некий фильтр, пропускающий волны только в одном, например положительном направлении, то после прохождения через этот фильтр на правой полуоси амплитуда волны уменьшалась бы и тем больше, чем ближе энергия частицы к ^(происходило бы своего рода частичное "отражение" на ступеньке). Эта конструкция отчетливо показывает особенность квантовой задачи по сравнению с классической. Эти особенности не менее значительны и тогда, когда частица распространяется с энергией Е « У0. Как уже было сказано, для такого случая на правой полуоси волновая функция г|)п хотя и имеет экспоненциально затухающий характер, но тем не менее не равна нулю (в отличие от классической картины упругого отражения от стенки):
к + IX </? + 1^У0 - Е
или, если умножить числитель и знаменатель на к - то
^¦2^*-^^ (1.2.19)
По мере повышения энергии множитель К0-?вэтих выражениях уменьшается, так что предэкспоненциальный коэффициент
37
стремится к 2АР тогда как экспонента становится все медленнее и медленнее убывающей, т.е. частица может быть обнаружена справа от ступеньки с достаточно большой вероятностью, несмотря на то, что ее энергия меньше высоты ступеньки. Факт совершенно необычный с классической точки зрения, долгое время изумлявший людей, занимавшихся квантовой механикой (пока к нему не привыкли и не стали рассматривать как должное). Если бы у нас была не ступенька, а потенциальный барьер типа изображенного на рис. 1.2.За или б, то, очевидно, что частица при энергиях, меньших У0, могла бы пройти с определенной вероятностью под барьером и далее при х > хх двигаться свободно в положительном направлении оси*. В этих случаях часто говорят, что частица может "просочиться под барьером", или "туннели-ровать через потенциальный барьер". Вероятность туннелирова-ния сильно зависит от массы частицы: при одной и той же высоте барьера У0 и одной и той же энергии Е экспоненциальный
множитель для протона в примерно л/1840 « 43 раза больше такого же множителя для электрона, что означает, что его волновая функция существенно быстрее затухает под барьером, чем у электрона. Барьер, под которым электрон проходит без труда, оказывается практически непроницаемым для других, более тяжелых частиц.
г. Нормировка волновых функций. Для задачи о потенциальном ящике с бесконечно-высокими стенками у нас не возни-кало проблем с интерпретацией квадрата модуля волновой функции, как плотности вероятности обнаружения частицы в том или ином месте пространства, поскольку интеграл от \\\)\2 на отрезке [-Ы2, Ь/2], равный вероятности достоверного события (найти частицу в ящике), был равен конечному числу, так что функция я|> могла быть нормирована на единицу. Иное дело - функции, полученные для задачи со ступенькой. Так, квадрат модуля функции гр, равен
|я1>,|2 = |А,|2 + |#г!2+ 2 ^Ж! соь(2кх + 5),
где 6 есть фаза комплексного числа АХВХ*. Интеграл от этой функции по всей области изменения переменной от ~оо до О расходится (независимо от того, равен или нет коэффициент В{ нулю, рассматривается ли случай Е > У0 или Е ? У0). Следовательно, здесь уже видеть в плотность вероятности без каких-либо дополнительных оговорок нельзя.
Возникает естественный вопрос: как сохранить исходную интерпретацию квадрата модуля волновой функции в этих задачах?
38
Чтобы ответить на него, целесообразно обратиться прежде всего к физической сути задачи. Очевидно, что любая реальная задача имеет дело с ограниченным объемом, в котором находится частица. Часто границы находятся достаточно далеко, положения мы их не знаем точно, и они не должны существенно сказываться на результатах. Тем не менее, границы есть, а это означает, что можно всегда поместить частицу в очень большой потенциальный ящик, на дне которого могут быть ступеньки, барьеры и тому подобные неровности, однако области их локализации существенно меньше размера ящика Ь. Волновые функции, отвечающие стационарным состояниям, в таких задачах обладают интегрируемым квадратом модуля, т.е. они могут быть нормированы. В то же время по мере увеличения Ь они должны приближаться к тем функциям, которые отвечают непрерывному набору значений ?, т.е. к функциям непрерывного спектра.
Несколько иной взгляд, хотя и ведущий по существу к тем же результатам, заключается в том, что каждое квантовое со-стояние одной частицы или системы частиц каким-то образом создается, приготавливается в определенный момент времени, скажем при I = 0. В этот момент времени система, очевидно, должна быть ограниченной в некоторой области пространства, локализованной. Локализация может быть большей или меньшей, однако наиболее важным с рассматриваемых позиций является то, что вероятность обнаружения системы в некотором конечном объеме практически равна вероятности достоверного события, т.е. единице. Другими словами, начальное квантовое состояние системы \\)(х, I = 0) обладает интегрируемым квадратом модуля. Такое состояние может быть описано, например, волновой функцией (16) при условии, что "весовая" функция с(Е) обладает интегрируемым квадратом модуля и не зависит явно от времени I. Последнее условие не является на самом деле обязательным, однако для большей наглядности выкладок нам его пока целесообразно сохранить.
