Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка):
Каждой физически наблюдаемой величине должно очевидно отвечать некоторое правило, позволяющее так преобразовать функцию Ч*, чтобы с вновь полученной функцией можно было бы вычислить эту наблюдаемую, причем такое правило не должно зависеть от того, для какого состояния, определяемого функцией Ч*, наблюдаемая величина находится. Другими словами, для каждой наблюдаемой А должен быть задан соответствующий ей оператор А (т.е. правило преобразования), переводящий функцию состояния Ч* в новую функцию Ф, которая вместе с функцией Ч* и позволит определить в конечном итоге численное значение этой наблюдаемой. Как определить последовательность действий при таком вычислении, необходимо было бы выяснять особо, однако вряд ли на даннном этапе делать это целесообразно, поскольку наводящие соображения хотя и весьма полезны, но заменить систему постулатов, аксиоматику теории не могут. Они, конечно, помогают адаптироваться к этой системе, помогают понять, пусть на весьма нестрогом уровне, о чем идет речь, тем не менее увлекаться слишком большим их числом пока не будем.
в. Постулаты. Итак, попытаемся дать некоторую начальную аксиоматику квантовой механики, которую на последующих этапах дополним еще некоторыми постулатами и уточнениями.
1. Состояние квантовой системы из N микрочастиц полностью определяется функцией состояния, или волновой
19
функцией Щт}9г^; *), где г,,- радиусы-векторы частиц. В общем случае эта функция является комплексной. Если дх = = дххйуу<к^ ... <%хп ёуы с12и = У[^Гк ~~ элемент объема в пространстве переменных N частиц, то величина с1\? = (Ч^г,, г^; 1)[~(1х пропорциональна вероятности найти в момент времени г первую частицу вблизи точки с радиусом-вектором г] в объеме Ж*, = Жс^ск (т.е. в параллелепипеде с длиной ребер сЬс}9 с1ух и с1г]9 одной из вершин которого служит точка г^, вторую частицу вблизи точки г2 в объеме дх2 и т.д. Функция (Ч1)2 = 4**4* при такой интерпретации пропорциональна плотности вероятности, т.е. вероятности, приходящейся на единицу объема (звездочка - символ комплексного сопряжения).
2. Каждая наблюдаемая физическая величина Д (координатах, сопряженный ей импульс рх9 компоненты момента импульса, например 1х и т.п.) представляется линейным оператором А, и среднее значение <а> этой наблюдаемой в квантовом состоянии, определяемом функцией Ч*, задается интегралом вида
<а>=1Ч>*АШт. (1.1.1)
Интегрирование ведется по всей области изменения переменных, например, по каждой декартовой переменной от -оо до +оо.
Подобного типа интегралы, широко встречающиеся в квантовой механике, обычно обозначаются специальным образом:
/Ч^АЧУс ^<Ч^Р4|Ч^>; (1.1.2)
эти обозначения называются дираковскими (по имени введшего их выдающегося английского физика Поля Дирака).
В частности, оператор координаты, например х9 действует на произвольную функцию Ф по весьма простому правилу, согласно которому функция Ф переходит в произведение хФ. Оператор любой функции Дг,, г2,...), зависящей только от координат, действует аналогично: функция Ф умножается на/и переходит в/Ф.
Оператор импульса, например рх9 переводит функцию Ф в ее частную производную по координате л:, канонически сопряженной этому импульсу, и одновременно умножает на , где / -мнимая единица, а Й - фундаментальная постоянная, носящая название постоянной Планка (по имени выдающегося немецкого физика Макса Планка) и равная 1,0545887-10 34 Дж-с.
Все остальные операторы получаются из соответствующих выражений классической механики заменой по указанным правилам координат и импульсов на отвечающие им операторы (при дополнительном условии, о котором речь пойдет ниже: операторы, отвечающие физическим величинам, должны быть эрмитовы).
20
3. Изменение функции состояния 4х во времени определяется уравнением Шредингера
ач*
т— = нч?. (1.1.3)
ы
Это уравнение полностью определяет функцию Чг при заданной функции состояния в начальный момент времени: Ч*(г; I = 0) ¦ Ч^. В уравнении (3) Н есть не что иное, как оператор Гамильтона, получаемый из обычной классической функции Гамильтона путем замены встречающихся в ней координат и импульсов на соответствующие операторы, представленные в п. 2. Оператор Гамильтона часто называется также гамильтонианом.
Эта система основных положений далее будет дополнена постулатом о спине (§ 5, гл.П) и постулатом о симметрии волновой функции относительно перестановок тождественных частиц (§ 3, гл.IV). Сейчас пока для их введения у нас нет достаточной базы.
г. Примеры. Для одной частицы массы т, положение которой в пространстве определяется ее радиусом-вектором г, оператор импульса р имеет в декартовой системе координат следующий вид:
так что при действии оператора импульса на функцию состояния Ф(г, /) частицы получается вектор с компонентами
№ .+ дЧ* .ьач*
- 1П-, - 1П- И - 1П-.
дх ду дг
Момент импульса Ь частицы в классической механике задается выражением Ь = гхр , где символ х означает векторное произведение (вектора г на вектор р). По определению векторного произведения декартовы компоненты вектора Ь имеют вид
Ьх = ур2-2Ру9 Ьу = грх'хрг9 Ь^хру-урх. (1Л.4)
