Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Степанов Н.Ф. -> "Квантовая механика и квантовая химия" -> 3

Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.

Степанов Н.Ф. Квантовая механика и квантовая химия — М.: Мир, 2001. — 519 c.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка): stepanov.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 175 >> Следующая

6
последующих главах представлены прикладные и более специальные задачи квантовой химии. Каждая глава нумеруется римской цифрой, каждая формула в тексте - номером главы, параграфа и порядковым номером в параграфе (при ссылке на формулу из этого же параграфа указывается лишь ее порядковый номер). Такая же нумерация принята и для рисунков, причем для простоты в номерах формул и рисунков римская цифра заменена на арабскую.
Автор весьма благодарен сотрудникам лаборатории строения и квантовой механики молекул: В. И. Пупышеву, Ю. В. Нова-ковской, А. В. Щербинину, А. Ю. Ермилову, А. В. Медведеву, а также В. И. Путляеву, М. Н. Путляевой, А. А. Кубасову и Т. И. Пархоменко за исключительно большую помощь в ходе написания и подготовки рукописи книги к изданию. Буду искренне признателен всем, кто выскажет свои замечания по тексту книги и предложения по его улучшению.
Краткая вспомогательная сводка определений и соотношений из линейной алгебры и функционального анализа
Математический аппарат квантовой механики во многом опирается на линейную алгебру и функциональный анализ, поэтому имеет смысл предпослать изложению квантовой механики краткую сводку ряда определений и результатов из этих разделов математики.
а. В векторном пространстве 91 конечной размерности п всегда можно выбрать базис из векторов е,, е2, ... , е , так что любой вектор х, принадлежащий 91 (записывается как х Е 91), может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов:
п
х«х1е1 + *2е2+...+*(ев= 2*<е*' (ол)
Каждое из чисел х , определяющее вектор х в заданном базисе, называется компонентой вектора, так что вектор х задается совокупностью его компонент. Базис фактически определяет систему координат, в которой определен каждый вектор пространства.
Для каждой пары векторов х и у можно определить их скалярное произведение ху = (х, у) как такое в общем случае комплексное число, которое удовлетворяет следующим требованиям (аксиомам):
1°. (х,у) = (у,х)*;
2°- (ах9 у) = я*(х, у); (0.2)
3°. (х + г, у) = (х, у) + (г, у); 4°. (х, х) а 0.
Здесь а - произвольное (комплексное) число, звездочка обозначает знак комплексного сопряжения, и знак равенства в 4° выполняется только при условии, что х = 0. Из 2° и 1° непосредственно следует, что (х, ау) = а(х, у). Скалярное произведение вектора х на самого себя определяет квадрат его длины: х2- || х ||2 = (х, х). Два вектора, скалярное произведение которых равно нулю, называются ортогональными.
Если учесть для х и у представление в виде (1), то с учетом
8
аксиом (2) придем к соотношению:
(х,у)= ^.уДе^е,.),
(0.3)
позволяющему сказать, что скалярное произведение любых двух векторов из 91 полностью определяется заданием их компонент х. ну. в выбранном базисе и набором чисел 5.; = (в/,еу) . Этот набор чисел можно записать в виде матрицы Я с элементами 5 причем индекс і есть номер строки, а индекс у - номер столбца этой матрицы. Для базиса ортогональных векторов (е., е ) = 0 при і * у. Кроме того, будем всегда предполагать (если не оговорено противное), что в качестве базисных выбираются векторы единичной длины: (е;, е^) = 1 для любого / (что обозначается как V/'). Другими словами, (е., е^) = 6„, причем 6 - символ Кронекера, равный 1 при і = у и равный нулю при / * у. Такой базис называется ортонормированным. Компоненты у (] =1,2, п) вектора у допускают запись в виде матрицы с п строками и одним столбцом, т.е. в виде вектор-столбца:
I У л
У2
У =
(0.4)
\Уп)
Для каждого вектора наряду с длиной может быть определена и его ориентация относительно выбранного базиса с помощью направляющих косинусов углов между вектором х и единичными базисными векторами е.:
соэф,- (х, е)/х = (х/дг, е.) = (п, е.), (0.5)
где п - единичный вектор в направлении х.
На векторном пространстве 91 можно определить линейные операторы Л как некоторые преобразования, переводящие векторы из 91 вновь в векторы из этого же пространства 91 (в более общем случае - в векторы другого пространства 91'):
У=Ах, (0.6) и удовлетворяющие требованиям линейности:
1°. А(ах) = аАх , где а - произвольное число;
2°.Л(х + у)=Лх+Лу. (0.7)
9
шение Г^°пГЛЬКУ Х " У МОЖН° пРеДставить в виде (1), то соотношение (6) перепишется с учетом линейности оператора А:
П
П
п
(0.8)
>1 /-1 ?=1
Каждый из векторов Ас. можно тоже разложить по базису векторов ег Ае,- = 2а^е;' так что:
или, если учесть, что базисные векторы е., по определению, линейно независимы, то
1-1
что в матричных обозначениях будет выглядеть следующим образом:
У = Ах,
где х и у - вектор-столбцы, А - матрица с элементами а..:
А =
а
а
її
21
а
12
а
22
а
2п
а.
\ап\ ап2 *" апп)
Очевидно, что любой линейный оператор, определенный на 91, допускает представление в виде матрицы А.
б. Для матриц при их классификации вводятся следующие определения. Если числа строк и столбцов у матрицы одинаковы, то она квадратная, если нет - то прямоугольная ( имеет вид прямоугольника). Матрица А в Ат с элементами, определенными требованием йц = я называется транспонированной по отношению к А, а матрица А с элементами («*)..= (я,)* - комплексно сопряженной А. Если у матрицы А элементы таковы, что а = д , то она симметрична, если а = -а , то кососимметрична. Если все элементы матрицы А при разных индексах / и у равны нулю, то она диагональна, если к тому же у диагональной матрицы все элементы равны одному и тому же числу а, то она называется скалярной, а при условии а = 1 - единичной матрицей Е (или I). Сумма диагональных элементов матрицы А называется ее следом и обозначается либо как БрА, либо как їх А.
Предыдущая << 1 .. 2 < 3 > 4 5 6 7 8 9 .. 175 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed