Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка):
Ял=<(М)2> = <гНА-атт)2
гр > .
Согласно соотношению (15) дисперсии двух физических величин, которым отвечают некоммутирующие операторы Л и В, в квантовой механике всегда таковы, что их произведение больше
62
некоторого неотрицательного числа, зависящего от того, каков коммутатор Л и В. Другими словами, разбросы значений, или неопределенности в значениях физических величин, характеризуемые дисперсиями ВА и Ав, удовлетворяют неравенству, называемому соотношением неопределенностей:
<(ДА)2 ><(АВ)2 >а-<С>2, (1.4.16)
4
где 1С - коммутатор Л и В .
е. Примеры. 1. Простейший пример двух некоммутирую-щих операторов - канонически сопряженные (т.е. связанные друг с другом уравнениями Гамильтона в классической механике) координата и импульс. Для этих операторов имеем:
- 1Ь — \ х = 1Ы .
дх/ \ дх
Следовательно, оператор С в этом случае равен й/, так что для нормированных функций
<(Ах)2><(Арх)2> ;> /г/4 (1.4.17)
(в атомных единицах справа должна, очевидно, стоять 1/4). Это соотношение часто записывают также в виде
АхАрх*П/2, (1.4.18)
а под Ах и Арх подразумеваются величины <(Дл:)2>,/2 и <(Арх)2>1/2 соответственно. Поскольку среднеквадратичное отклонение от среднего всегда меньше корня из среднего значения квадрата соответствующей величины (представляемой оператором Л2), то последнее соотношение часто используют для оценки среднеквадратичных значений импульса частиц в достаточно локализованной системе при использовании в качестве Ах некоторого приближенного "размера" системы:
< р2х >Ч2 *П/2Ах.
Например, свободные атомы в основном состоянии локализованы в областях пространства с линейными размерами в несколько десятых нанометра. Если учесть, что й« 10~34Джс = 10~34м2кгс-1,
1Л-34
то для атомов <РХ>4 *-—мкгс" »10" -10" мкгс" .
2-10"ш
Для электрона, масса которого примерно равна 10 30 кг, оценка для линейной скорости его классического движения в атоме получается следующей (если принять V = р 1т)\ < у2 >1//2 а 105 - 106 мс"1.
X х ^с
63
Отметим, что оценку типа (18) для задачи о движении частицы в потенциальном ящике мы уже получили в п. б §2, не имея еще, как такового, соотношения неопределенностей для координаты и импульса.
2. Еще один простой пример некоммутирующих операторов для одной частицы: оператор координаты, к примеру х, и некоммутирующий с ним оператор момента импульса^ или Ьг\
х1У ~ 1УХ = *(Фх - ХР) - (Фх ~ хРт)х = г(*Рх ~ Рхх) = № >
так что оператор С равен #г. Соотношение неопределенностей в этом случае будет иметь вид
Л2 2
<(Ах)2>-<(Му)2> т> — < г > .
В отличие от того, что было получено для координаты и импульса, здесь правая часть зависит от квадрата среднего значения координаты г, т.е. от величины, присущей заданному квантовому состоянию частицы. Поэтому подобные соотношения несколько менее популярны, хотя и они подчас позволяют получить полезные выводы. В качестве достаточно тривиального вывода можно отметить, например, тот, что если функция гр, с которой вычисляются все величины в последнем соотношении неопределенностей, собственная для оператора Ь с нулевым собственным значением, то <?> также должно равняться обязательно нулю.
ж. Результаты измерений. Соотношения неопределенностей в квантовой механике очень часто связывают с разбросом значений, получаемых для физических величин при экспериментальных измерениях. Сама по себе проблема измерений в квантовой теории достаточно сложна, хотя бы уже потому, что измерительные приборы являются макрообъектами, тогда как измеряются величины, относящиеся к микрообъектам. В настоящем курсе у нас нет возможности сколько-нибудь детально входить в эту проблему, а потому мы остановимся лишь на одном из наиболее часто используемых при ее обсуждении подходов (хотя он в целом и не бесспорен).
Предполагается, что при воздействии измерительного прибора на микрообъект последний переводится из исходного квантового состояния, описываемого волновой функцией гр, в одно из состояний, собственных для оператора Л, который представляет измеряемую физическую величину Ъ. При этом прибор регистрирует отвечающее этому состоянию собственное значение Ъ.. Вероятность №. перевода
64
исходного состояния (гр) в /-е собственное (ф) определяется квадратом модуля коэффициента с. в разложении функции гр по функциям ф. (считая, что совокупность {ф.} представляет собой полный набор базисных функций):
У = 2С&*> (1.4.19)
?=1
При измерении свойства Ъ с вероятностью IV. ос \с.\2 получается результат измерения Ь.: Вц> = Ьхрг
Если имеется множество систем, каждая из которых находится в состоянии гр, то при измерении свойств каждой из этих систем собственные значения Ь1 будут появляться с вероятностью, пропорциональной \с.\\ так что среднее значение физической величины Ь в состоянии ф будет представлено выражением:
<ъ>= рД=Ар,Ы2>
где А - некоторый коэффициент пропорциональности. С другой стороны, если воспользоваться для гр рядом (19), считая ради простоты, что все функции ф. нормированы на единицу, то можно написать:
*>) '
Сравнивая этот результат с предыдущим равенством, приходим к выводу, что при нормированных базисных функциях, в качестве которых используются собственные функции оператора В, коэффициент пропорциональности А равен единице и | с.|2 дает непосредственно вероятность ]?.. Этот результат по существу не изменится, если у оператора В все или часть собственных значений относятся к непрерывному спектру.
