Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка):
п-1
yn=BnSn{y)e-y '2-(-lWy 12
= (-1ГВпеу2/2^-е-у2/2\еу2/2
d d
-y -
dy dy
n-l
n-\
-y
dy { dyn-x
Выражение в скобках есть не что иное, как (-1)*-1 позволяет далее после ряда простых операций написать
что
В,
4>п =
_ п
в
п-1
у-
dy
1
у-
л/2п\ dy
Очевидно, что в качестве оператора повышения от некоторого уровня п - 1 к следующему уровню п должен выступать оператор
у/2п\ у--= ->І2п
\ dy)
y-i
. d
-1
dy
. Стоящее в круглых скобках
выражение есть не что иное, как записанный в атомных единицах оператор импульса, канонически сопряженного переменной у. Обычно в качестве оператора повышения берут лишь оператор, стоящий в скобках, ибо тогда он не зависит от п9 и обозначают его как а :
а
(1.5.16)
Умножение оператора а слева на оператор а_-р— iy
Ру + 1У-
позволяет получить последовательность равенств:
(РУ-ІУ)<*+ = ІРу- іу)(ру + іу) = Ру + і(РуУ -УР) + У2 =РУ2+У2+ Ь
где при переходе к последнему равенству учтено то, чему равен коммутатор импульса и координаты. Нетрудно заметить, что оператор р 2 +у2 тесно связан с оператором Гамильтона (7) исходной
77
задачи в "у-представлении", так что в итоге можем написать: Н(у) = (со/2) (р; + у2) = (ю/2)[(|>, - 1у)(ру + *у) - 1] -
= (ш/2)^, + /у)(ру - /у) + 1]. (1.5.17)
Коль скоро функции \рп - собственные для Н(у), т.е. и для а а+ ,
причем а+ переводит каждую функцию 1|>п в функцию грп+1 (с точностью до нормировочного множителя), то оператор а = р - 1у переводит г|>п в функцию грп_,, а потому является оператором понижения. Если нам известна хотя бы одна функция г^, собственная
для Н, то с помощью операторов а+ и а (называемых также лестничными операторами) можно построить все остальные.
Пусть, например, известна гр0 = А0е у . Тогда а/ф0 =
= 21А0уе~у 12, что с точностью до нормировочного множителя
должно совпадать с грг С другой стороны, я_г[>0= 0, и следовательно, гр0 отвечает низшему собственному значению. Таким образом, операторы повышения и понижения дают возможность получить все собственные функции оператора Гамильтона для гармонического осциллятора.
Выражение (17) для оператора Гамильтона позволяет без труда найти такие множители для операторов а+ и а , которые переводят нормированные функции грп вновь в нормированные функции грп+1 и лрпГ Действительно, запишем, например, интеграл
2
где мы воспользовались тем, что операторы р и у, входящие в а , -эрмитовы, а оператор /, т.е. умножение на мнимую единицу, при переходе на первое место в угловых скобках меняет знак на обратный (* переходит в /* = -/). Пусть далее а+грп = "к У„+], где грп и грл+] нормированы на единицу. Тогда приведенные выше интегралы можно переписать так: 2 2
~<^ЯК > + <Уп\Уп > = (2л + 1) + 1 = |Хп+| <Ч>„+1|ч>я+1 >
или
\кп+\ = л/2(ах + 2) ; ^=72^, (1.5.18)
где сразу же выписано выражение и для Хп в соотношении аЛ)п = г Более детальное рассмотрение показывает, что
\+ = ф(п + 2) ; \=-1у^. (1.5.19)
И наконец, с помощью равенств (19) найдем еще одно полезное для дальнейшего соотношение:
УФ„ = "^а+ +а-)Уп +^п-г- (1-5.20)
Оно, в частности, показывает, что для оператора координаты у отличными от нуля будут только следующие интегралы:
<^я+іМ^л >==^^ и <лї>п-і\у\Уп > = ^|• (1.5.21)
г. Сравнение с классической теорией. Выше было отмечено, что энергия гармонического осциллятора связана с его частотой, а не с амплитудой, которая вообще не определена в квантовой теории. Однако можно попробовать ввести некоторый аналог амплитуды, например следующим образом:
00
А2 = <1ря|х2[фл >л= /^(*)х2гря(х>*г =
2
— 00
00
-/Ч.;(Г1/2у)(г,/2у) 1МГ,'2у)*(Г,/2*) = Г1
у2
У ,
— 00
где ^ =4кт. Для вычисления последнего интеграла дважды воспользуемся соотношением (20):
7 1(п + 1)(п + 2) 2л+ 1 1п(п - 1)
У~У» = \|-4-Уп+2+—^—Уп +у!---Ч>„-2,
после чего сразу же можем написать (с учетом того, что § = к/ю):
А2= (%-1)(п+1/2) = и>/*(л+1/2) = ?и/*.
Следовательно, соотношение здесь получается на самом деле тем же, что и в классической механике (см.(2)), поскольку в
7 7
классическом случае <х > - А 12. Наиболее вероятное значение х0 координаты х будет получаться из обычного условия экстремума |грп(х)|2. Так, для основного состояния
так что х0 = 0, для первого возбужденного состояния
так что х0 = \~х12 = (ш / к)^2 = (2Ег I Зк)^2 . Необычным с класси-лассических позиций для квантовомеханического гармонического осциллятора является наличие максимума при х = 0 у плотности
78
79
распределения основного состояния, тогда как по мере роста п среднее распределение у плотности становится также все более похожим на классическое.
И еще одно существенное отличие от классической картины заключается в дискретности энергетического спектра. Тем не менее, если имеется система из большого числа гармонических осцилляторов, которые могут обмениваться друг с другом энергией (как это происходит - пока не важно), то в такой системе устанавливается термодинамическое равновесие, причем число осцилляторов с энергией Еп при равновесии пропорционально, как следует из статистической термодинамики, больцмановскому
