Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка):
д. Замечание о задачах с нецентральным потенциалом. Если потенциал У(г) не является центральным или, что то же, сферически симметричным, то переход к сферической системе координат уже не является столь продуктивным. Приходится при анализе соответствующей задачи использовать другие системы координат. Например, в задаче о поведении электрона в молекулярном катионе Н2 , где имеются два протона, которые будем предполагать фиксированными на оси г в точках Л/2 и -К/2, сферической симметрии уже нет. Однако потенциал \\{у) + У2(г), образованный потенциалом ^(г) взаимодействия электрона с одним протоном и
90
потенциалом У2(г) взаимодействия его с другим протоном, в этой задаче не зависит от угла <р поворота вокруг оси г, так что здесь удобно использовать, например, цилиндрическую систему координат (рис. 2.1.4): расстояние р электрона до оси г, проекцию его радиуса-вектора на эту ось г и угол ф поворота вокруг оси г . При этом, как и в задаче с центральным потенциалом, переменную <р можно отделить от двух других переменных и получить уравнение, аналогичное уравнению (14).
Рис. 2.1.4. Цилиндрическая система координат.
Нецентральные потенциалы с одним силовым центром, но зависящие в сферических координатах не только от радиальной, но и от угловых переменных, например V = К(г)собФ , часто называют анизотропными потенциалами. Они широко используются при рассмотрении взаимодействий тех или иных частиц с удаленными от них молекулами, когда потенциал, создаваемый каждой такой молекулой в рассматриваемой точке, можно приближенно моделировать некоторым анизотропным потенциалом, зависящим оттого, как повернута молекула. Так, взаимодействие атома Аг (находящегося в точке г) с удаленной от него линейной молекулой С02, ядро атома углерода которой находится в начале системы координат, а ядра атомов О - на оси 2, можно моделировать потенциалом вида У(г)(1 + Ьсо82т>) , где Ъ -некоторая постоянная.
В более общих случаях, когда имеется три или большее число силовых центров, задачу, как правило, можно решать уже либо только численно, либо на основе тех или иных приближенных подходов.
91
Задачи
1. Выразить из соотношений (4) частные производные д/дх, д/ду и Э/Эг через производные Э/Эг, Э/ЭФ и Э/Эф, решая эту систему трех линейных уравнений относительно трех неизвестных.
2. Найти выражение для оператора Лапласа в сферических координатах.
3. Пусть решение радиального уравнения (14) ищется в
виде R(r) = —S(r) . Какому уравнению удовлетворяет функция 5(г)?
4. Предположим, что радиальное уравнение (14) решается при / = 0 (т.е. при X = 0) с потенциалом V(r) = 0 при 0 s г < rQ и V(r) = оо при ггго (так называемая сферическая потенциальная яма). Найти решения и сравнить получаемые результаты с тем, что было найдено для одномерной задачи с прямоугольным ящиком.
5. Проверить непосредственной подстановкой, что функции @(т>) из (18) удовлетворяют уравнению (16), а также то, что они нормированы и взаимно ортогональны (с весом siirQ).
6. Что можно сказать о решениях задачи с анизотропным потенциалом вида V(r, тЭ) = Vr(r) + V^(O)? Можно ли в этом случае разделить переменные?
§2. Теория момента количества движения
Момент количества движения, или момент импульса, в квантовой механике играет не менее существенную роль, чем в классической. Выше мы уже упомянули, что в классической механике момент количества движения частицы в центральном поле сохраняется. Следовательно, он сохраняется и у свободной частицы и у системы частиц, на которую не действуют внешние силы, либо момент внешних сил, действующих на эту систему, равен нулю. Знание таких сохраняющихся при движении величин (их также называют интегралами движения) всегда полезно, хотя бы по той причине, что если fix, у, z) = с, то из этого соотношения можно выразить, например, х через у и z: х = х(у, г); подставив это соотношение в уравнения движения, можно исключить переменную х из этих уравнений и уменьшить число фигурирующих в них переменных. Посмотрим теперь, что можно сказать о моменте импульса в квантовой механике.
а. Операторы момента импульса. Согласно сказанному в § 1 гл. I операторы момента импульса одной частицы в декар-
92
товой системе координат имеют следующий вид:
Lr = yp7-zpv= ~i\y — -z —
Ly = zPx-xPz= _/(2^~Х~^; (2.2.1)
L = xpy-ypx= -і
д д х--у —
ду дх
Длина вектора момента Ь определяется в классической механике
выражением Ь = >/ї?, где Ь2= Ь*+ Ьу+ Ь \ Соответствующее выражение для оператора Ь2 получается подстановкой в эту сумму операторов (1).
Запишем теперь операторы компонент момента импульса в сферических координатах. Для этого вновь воспользуемся соотношениями (2.1.2), рассматривая л;, у иг как функции г, Фи ф,
и запишем производные по г, т> и ф согласно (2.1.4):
д^хд^уд^гд
дг г дх г ду г dz
^ = rcos-Oo^ — + rcosftsirup — - rsinu —, (2.2.2)
д& дх ду dz
^ - -rsindsiiup — + Г8ІПтЗс08ф — .
Эф дх ду
Последнее равенство может быть сразу записано с учетом соотношений (2.1.2) в виде
^ д д
- -у— + X— = 1Ьг
(2.2.3)
Эф дх ду
либо после умножения справа и слева на -/:
