Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка):
а
Рис. 2.2.2. Векторная схема связи проекции I, и вектора Ь (а) и конусы, образуемые при прецессии Ь вокруг оси г (б).
д. Сложение моментов. Для системы двух частиц (с индексами 1 и 2) в классической механике угловой момент записывается как сумма моментов отдельных частиц: L = L1 + L2. В квантовой механике такому вектору будет отвечать четверка операторов: L =
Lia+ L2« (а - х> У* 2) и L2 = (Lx + L2)2 = L2 + L\ + LXL2 + L2LV Каждый из операторов L.a(i = 1, 2) действует только на функции, зависящие от переменной *-й частицы. Поэтому с учетом того, что для суммы двух операторов, зависящих каждый только от своих переменных, собственную функцию можно представить в виде произведения двух функций, одна из которых собственна для одного из этих операторов, другая - для другого, собственную функцию
100
оператора ?гможно искать в виде произведения^Ь^щ^^щ :
Такая функция имеет в качестве собственного значения величину т = т; + т2, так что проекции моментаЬ на ось 2 могут, очевидно, меняться от -(/1 + /2) до (/] + /2) при переборе всех функций г|> / и г|)/г щ и построении из них всех возможных произведений. С другой стороны, одному и тому же значению т могут отвечать различные произведения, поскольку т = тх + т2-(тх- 1) + (/и2+ 1) = » (/и + 1) + (т2 - 1) = так что имеется в общем случае вырождение по этому числу т. Исключение составляют лишь функции и ^/2,^2 > которые являются собственными для Ьг
с собственными значениями /] + /2 и -(/1 + /2).
Прежде чем говорить о том, как ведут себя подобные
произведения функций при действии оператора!,2, отметим, что
I? = Ь\ + 1^ + 2(ЬХхЬ2х + Ь1уЬ2у + ЬиЬ2г). Заменяя здесь Ьи на (Ьи +?1_)/2, Ь - на (Ьи -ЬХ_)1И, а также Ь2хи Ь2у - на соответствующие выражения, получим:
Ь2 ={Ь\ +Ь\ +2ЬиЬ22) + ЬиЬ2_ +11_12+> (2.2.20) Стоящий в скобках в правой части оператор примечателен тем, что для него любая из функций Ч>/г/из - собственная:
(I2 +Ь22 +2Ь12122)Ц^щЦ12т2 =
= \к(к +1) + '2('2 +1) + 2т1т2]г4>/1 ^ -ф
В то же время два последних оператора в формуле (20) переводят такие произведения в другие функции за исключением лишь двух указанных случаев: тх = I т2 = /2и тх = -/|9 т2 = —1Г В этих двух случаях оператор Ьх+Ь2 + Ьх /,2+(либо за счет операторов Ь.+9 либо за счет операторов Ь._) переводит функцию в нуль, так что она оказывается собственной для Ь2с собственным значением 1Х(1Х + 1) + + /2(/2 + 1) + 2/,/2= (1Х + 12)(1Х + /2 + 1). Для того, чтобы построить другие собственные функции для I?, нужно составить линейные комбинации функций вида ^12Ш2 с одним и тем же значением т = тх + тг Не останавливаясь на этом построении детальнее, сформулируем лишь окончательный итог: из всевозможных
101
произведений функций, собственных для Ь2уЬ1г,Ь\ и/,22,можно построить функции, которые будут собственными для Ь2 с собственными значениями, задаваемыми числами (для определенности считаем, что /1 а /2)
/=/,+ /2, /,+ ^-1,... Л,"/;.
При этом для каждого значения / будет иметься весь набор функций, собственных для Ьг с собственными значениями т от -/ до +/.
Такое построение наглядно представляется векторной моделью, т.е. моделью сложения векторов, как показано на рис. 2.2.3. При этом надо ясно понимать всю условность подобной картины. Векторы Ци ^определены подлине на функциях Ч> І^т^ 12,т2 и на их линейных комбинациях, поскольку и те и другие будут собственными и для 1%, и для Ь\ • В то же время проекции ІІ2И на линейных комбинациях, собственных для Ь2, в общем случае не определены, поскольку т = тх + т2 = (тх - 1) + (т2+ 1) = ... . Определена только лишь проекция Ьг. По этой причине изображение векторов Ь1 и Ь2 на рисунке не вполне адекватно тому, что должно бы быть. Лучше было бы иметь, например, систему накладывающихся рисунков, отвечающих одному и тому же вектору Ь, но со всеми возможными парами проекций для Ь1 и Ь2: {т 9 /и2}, {т{ - 1, т2 + 1} и т.д.
о
Рис. 2.2.3. Векторная модель сложения моментов: сначала складываются проекции Ьпі и Ьп1 на направление Ь, а затем по этой суммарной проекции определяется квантовое число Ь полного момента Ь. В свою очередь, вектор Ь прецессирует вокруг оси г.
102
Построение собственных функций оператора Ь2 по собственным функциям ЬІ и ?| носит название сложения моментов. Иллюстрацией этого сложения и является рис. 2.2.3.
е. Матричное представление операторов углового момента. Если имеется множество функций г|)Ді = 1, 2, ЛГ), то с этими функциями для заданного оператора^ можно вычислить совокупность чисел, определяемых каждое двумя индексами: А = <Ф(|А |г|)>. Эти числа называются, как уже было сказано, матричными элементами оператора А. Они могут быть записаны в виде матрицы, причем номером строки матрицы служит, например, индекс /, а номером столбца -у. Если бы функции г|>. образовывали полный набор, то такая матрица полностью представляла бы оператор А, т.е. задавала бы этот оператор в полном базисе функций г|ь
Если базисные функции ф. являются собственными для некоторого оператора В, то говорят, что оператор А задан в Д-представлении, например, если такими функциями служат собственные функции оператора импульсар, говорят ор-представлении (или, что то же самое, - об импульсном представлении) оператора А.
