Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка):
Для вакуума ? и \х равны 1. В системе СГС ?0 и ц0 также равны 1, в СИ, однако, ?0 = 8,85419-10,2Ф м 1 и ц0 = 12,56637-10 7 Г м^1 (Ф - фарадей, Г - гаусс).
Помимо указанных векторов вводятся и величины, определяющие систему зарядов в поле: р - плотность электрического заряда и j - плотность электрического тока (j = pv, где v - скорость движения заряда).
Векторы Е, Н, D, В, а также р и j связаны друг с другом
уравнениями Максвелла (с - скорость света):
СГС СИ
rotE + i^O, rotE + ^ = 0
с dt dt
.„ ldD 4jt. „ dD .
rot H---= —j, rot H--=i (2 4 U
с dt с 9 dt ' K }
divD = 4jtp, divD = p,
divB = 0, divB = 0.
Как видно из этих уравнений, переход от системы СГС к
СИ осуществляется заменой:
1« 4тс .
Е => Е, -В =>В, — J ^J,
с с
Н=>Н, -D =>D, 4jtp^p
с
В соотношениях (1) также использованы следующие обозначения (для дивергенции и ротора произвольного вектора а):
дах дау daz в diva = Va = —- + —— + — •>
Лг (2.4.2)
rot а = V х а =
^J_Oy\^(dax daz\t . (дау да^
к.
ду dz ) \ dz дх Г \дх ду ) Далее также будет использован градиент скалярной функции ср, определяемый равенством:
, ^ Эф. Эф . Эф gгadф = Уф = — 1 + — j + — к .
дх ду dz
Векторы Е и В (а следовательно, и D, и Н) имеют в общей сложности 6 компонент, не все из которых независимы. Поэтому подчас бывает удобнее, особенно в ходе промежуточных выкладок, перейти к другой системе величин, в качестве которых обычно выбирают 3 компоненты так называемого векторного потенциала А
и скалярный потенциал ф:
СГС СИ
Е =----grad ф Е =---grad ф
С dt dt
В = rot А В = rot А (2.4.3)
(при переходе от СГС к СИ А => сА и ф => ф).
Классическая частица с зарядом q при движении в электромагнитном поле испытывает действие силы, имеющей вид (далее выписываем все соотношения только в системе СГС, переходя при необходимости к СИ с помощью указанных замен,
121
120
что определяется большей легкостью перехода к атомной системе единиц от системы обозначений в СГС):
Р«^Е + ±гхв), (2.4.4)
где г - скорость движения частицы. Эта сила носит название силы Лоренца1. Для нее можно написать обобщенный потенциал (откуда и видно, почему А и ф также называются потенциалами)
1У-.-2.(Ат) + 0ф,
(2.4.5)
функцию Лагранжа
2 с
и обобщенный импульс р = (р ,р,р):
X7 Г у? Г г,
дЬ. дЬ . дЬ _ а .
р = —1 + — л + — к= тг + ^А.
дх ду дг с
(2.4.6)
Для функции Гамильтона получается следующее выражение:
2
+ (2.4.7)
которое позволяет далее написать оператор Гамильтона при обычной замене импульса р на оператор
I дх ду дг
а функции координат А(х, у, г) и ф(х, у, г) оставить, по существу, без изменений. Если в системе имеется две или большее число частиц, то у импульсов и радиусов-векторов появляются соответствующие индексы частиц, а кроме того добавляется потенциал V взаимодействия частиц между собой, так что оператор Гамильтона приобретет вид:
,2
н = 1
к
1
2т,
-/ЛУА-**-А(гл)
+ <7*ф(г*)
• + (2.4.8)
1 Лоренц Хендрик Антон (1853 - 1927) - нидерландский физик и математик, создатель электронной теории, ввел так называемые, преобразования Лоренца для координат и времени (1904) до появления специальной теории относительности.
122
Возвращаясь теперь на время к гамильтониану для одной
а .
частицы, можем возвести в квадрат оператор р--А и получить:
с
# =
1
2т
р2 -1(рА + Ар)+2-А
1
+ «7ф. (2.4.9)
Й2Д - 1,Й(У • А + А • V) - 2— А2
2т с с
Оператор, стоящий в круглых скобках, при действии на произвольную функцию ф(г) дает:
(V • А + А • У)ф(г) =
дх ду дг дх
Эф ду
+ А.
Эф
дг
ал. дА,
дх ду
дА2
дг
ф + 2А-Уф.
Следовательно, в операторе Гамильтона (9) можно выделить те члены, которые включают операторы импульса, и те, которые
зависят только от координат:
2
Я = - —[Й2А - 2Й^*А • V] + -2-сНуА 2т с 2тс
+
А +ду .(2.4.10)
с //пс 2тс~
С учетом подобных преобразований можно написать и оператор (8) для системы многих частиц.
б. Однородные постоянные поля. Выделим теперь два частных, но весьма важных случая: однородное постоянное электрическое поле (Е = Е0, В = 0) и однородное постоянное магнитное поле (Е = 0, В - В0). В первом случае, как следует из соотношений (3), вектор А есть градиент некоторой функции/(г), поскольку го^гаё/) = 0. В теории электромагнитного поля существует утверждение о так называемой градиентной (или калибровочной) инвариантности: при добавлении к векторному потенциалу А градиента некоторой функции, например gгadДr, г) ,
1 а/ а а
а к скалярному потенциалу ф-функции---— уравнения Макс-
С д(
велла (1) не меняются. По этой причине для постоянного электрического поля можно просто положить А = 0. Тогда Е0 = -^гаёф и,
123
следовательно, ер = -Е0т. Считая, что Е0 и г записаны в атомной системе единиц, оператор Гамильтона можно упростить:
Л---i-A-gE0t+V(r), (2.4.11)
где V(r) - потенциал взаимодействия с другими полями, например полем, создаваемым фиксированным силовым центром. Так, для электрона в атоме водорода, принимая направление вектора Е за ось г, получим
