Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Степанов Н.Ф. -> "Квантовая механика и квантовая химия" -> 44

Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.

Степанов Н.Ф. Квантовая механика и квантовая химия — М.: Мир, 2001. — 519 c.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка): stepanov.djvu
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 175 >> Следующая

а. Релятивистская теория. Попытки объяснения существования дополнительного момента стали выглядеть гораздо
132
более реалистичными, когда возникло стремление построить релятивистскую квантовую теорию. Для одного электрона релятивистское уравнение было введено П.А.М.Дираком в 1928 г.1 Оно получило название уравнения Дирака и имеет вид, формально
аналогичный уравнению Шредингера:
1йАчг,я0ф, (2.5.1)
однако гамильтониан Дирака #0 кардинально отличается оттого,что есть в уравнении Шредингера. Он, во-первых, линеен по импульсам:
Я0 = ахрх + ауру + агр2 - тс% (2.5.2)
а во-вторых, коэффициенты ах, ау, аг и ?3 представляют собой уже не обычные числа, а матрицы размера 4x4. Как удалось придти к такому гамильтониану, обсуждать не будем, хотя это и весьма интересно. Тем не менее из того, что а. и р - матрицы, следовало простое утверждение: функция Ч* должна быть не обычной, привычной скалярной волновой функцией, а вектором с четырьмя
компонентами
Ф2
Xi
1X2
(2.5.3)
из которых две - х, и х2 - при скоростях движения электрона, заметно меньших скорости света с, должны быть существенно меньше двух других - <!>! и Ф2. Плотность вероятности обнаружения электрона в данной точке пространства задается выражением
р(г,0 = ф+ф = + Ф*2Ф2 + Х*1х1 + х2х2 •
Уравнение (1) и гамильтониан Ни (2) были введены так,
чтобы они не менялись при различных поворотах систем координат (в общем случае - при преобразованиях, не меняющих расстояний между точками). Такое же условие в действительности выполнялось и для уравнения Шредингера: повороты системы координат,
1 Дирак Поль Адриен Морис (1902 - 1984), английский физик, создатель релятивистской квантовой теории электрона, один из создателей метода вторичного квантования.
133
отражения в плоскостях и инверсия (см. гл. IV) не меняют ни оператора Лапласа, ни потенциала в этом уравнении. Существенное отличие преобразований, выполняемых при рассмотрении релятивистского уравнения Дирака, заключается в том, что эти преобразования выполняются не в обычном трехмерном пространстве, а в четырехмерном пространстве, включающем 3 пространственные и 1 временную переменные. Такие преобразования носят название преобразований Лоренца. При рассмотрении того, какие величины являются инвариантными при преобразованиях Лоренца и коммутируют с гамильтонианом Дирака, было найдено весьма интересное следствие: угловой момент количества движения/,2и
проекции Ьх, Ьу и! с Ни не коммутируют, тогда как для видоизмененной, модифицированной векторной величины Ь + 5, также имеющей смысл момента импульса, такие коммутационные
соотношения выполняются. Следовательно, собственные функции оператора Н0 должны быть одновременно собственными для оператора У: = (Ь + 5)2 и, например, для оператора 32 = Ьг + 52 (либо какой-нибудь другой проекции).
О чем говорит полученное следствие? Оно говорит о том, что если правила построения операторов координат и импульсов, сформулированные в § 1 гл. I, были правильными, то при переходе к моменту импульса эти правила должны быть изменены: вместо углового момента Ь необходимо в действительности рассматривать момент Ь + 5. Добавка 5 имеет такие же общие свойства, что и у обычного, углового момента: имеются 4 оператора 5х, 5 , в, и Я2, удовлетворяющие обычным для момента коммутационным соотношениям:
[5я,5у] = 1й5г; [5у,5г] = 1Й5,; [Б,, Бх] = ШБу-
[5„52] = [5у,52] = [5,,52] = 0, (2.5.4)
причем эти операторы коммутируют с операторами углового момента: [Ьа, 5^] = 0, а, р = х, у, г.
б. Матричное представление операторов спина. При
рассмотрении теории момента количества движения было установлено, что операторы момента могут быть записаны в виде матриц порядка 21 + 1. Для спина они определяются матрицами ах, а , а,, имеющими следующую структуру
o
0? «у =
/
О оу\ о„ О
«z =
О о
Z
а, О
134
где о , о и а - квадратные матрицы размерности 2x2. Если пренебречь в волновой функции (3) малыми компонентами х, и Х2, то останутся лишь векторы в двумерном пространстве
\ф2/
на которые собственно и будут действовать матрицы о: аЧ*. Из теории, базирующейся на релятивистском уравнении Дирака и коммутационных соотношениях, следует, что матрицы а могут быть выбраны в следующем виде:
(0 1\ /
— , о=
Л о, ' У \
(2.5.6)
Эти матрицы носят название матриц Паули. Операторы спина связаны с матрицами Паули весьма простым образом:
с _ h _ h
с n
S2=-oz
и
(2.5.7)
Ф
21
4V
Ф
2)
Собственные функции для операторов 52и Sz при таком выборе матриц а( будут определяться следующим равенством:
hfl О' 2\0 -1,
Из второго равенства следует, что X = h/2 или -h/2. Если "к = h/2, то ему отвечает собственная функция
ФЛ IV
Ф
2)
47, =
О
= Ф
О'
тогда как собственному значению \ = -h/2 отвечает функция
Очень часто функцию Чг1 записывают как Ф,а, а функцию Чг2 как Ф2Р, где аир- символы, указывающие, какому собственному значению оператора Б2 принадлежит та или другая функция: +Й/2 или -й/2. В атомной системе единиц эти собственные значения
135
равны 1/2 и -1/2, соответственно. По аналогии с функциями Ф1 и Ф2 символы аир часто также называют спиновыми функциями, или спин-функциями, хотя все изложенное выше свидетельствует о том, что аналогия такого рода имеет достаточно формальный характер аналогии такого рода.
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 175 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed