Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка):
Ф(г1.) = -Е0тг.-іхг2^
2 дх,
дЕг ' ' хіУі
дЕх дЕ?
(дЕх +дЕ^
т.е. выражение, зависящее уже от компонент градиентов ЕХ,Е и Е .
1 Обнаружен голландским физиком Питером Зееманом в 1896 г. по расщеплению спектральных линий натриевого пламени при наложении внешнего однородного
магнитного поля.
126
Введение однородного магнитного поля проявляется в двух дополнительных членах (линейном и квадратичном по полю):
^ = --^-В0+^(В0хг)2. (2.4.18)
2тс 8/л<г
Вектор -Ьгц по аналогии с электрическим дипольным
2тс
моментом называется магнитным дипольным моментом, или просто магнитным моментом заряженной частицы. Ему отвечает и соответствующий оператор магнитного момента, включающий оператор А, как то записано в соотношении (18). Для системы частиц магнитный момент определяется суммой:
Если имеется система частиц с одинаковыми зарядами и одинаковыми массами (#.= # и т — т для любого /), например система электронов, то магнитный момент будет пропорционален полному угловому моменту этой системы: \і = (#/2/лс)Ь. Обычно коэффициент пропорциональности \х-\q\fi I 2тс называют магнетоном для соответствующей частицы и записывают указанное соотношение в виде \х = sign2 (ц / Й)Ь . В частном случае системы электронов абсолютная величина коэффициента пропорциональности \хъ = еН I 2тс носит название магнетона Бора (д = -е). Если бы использовалась атомная система единиц, то для магнетона Бора получилось бы выражение цБ = 1/2с9 причем в этой системе с « 137,036.
Второе слагаемое в (18), квадратично зависящее от компонент вектора магнитной индукции (или напряженности магнитого поля) может быть представлено следующим образом:
Щ = -^(Во хг)-(В0 хг) = -ІІ-В0 -(гх (В0 хг)) =
Шс1 8тс2
д2 (В2-г2 -(В0-г)2),
8тс2
где сначала было использовано соотношение (ахЬ)-с = (Ьхс)*а, а затем соотношение ах(Ьхс) = Ь(а-с) - с(а-Ь), причем точка означает скалярное произведение. Нетрудно убедиться, что это соотношение можно переписать в матричной форме, если ввести симметричную матрицу третьего порядка с элементами, квадратичными
127
по компонентам радиуса-вектора заряженной частицы
х =
Я
4тс
( 2 2 X -г ху хг
ху 2 2 У -г уг
XX \ У* 2 2 г -г
(2.4.20)
В результате для ^получим равенство:
^2 = -1в0 ХВ0.
(2.4.21)
Совокупность 9 величин (из них только 6 различных), образующих элементы матрицы х> носит название тензора диамагнитной восприимчивости. Для системы частиц этот тензор складывается из отдельных тензоров для каждой частицы.
Тензор диамагнитной восприимчивости не зависит от того, есть у системы угловой момент или нет. Однако коль скоро поправка с х квадратично зависит от напряженности поля, то при малых напряженностях, как уже было отмечено, она играет малую роль, заметно меньшую, чем первое слагаемое в (18).
г. Поля, создаваемые заряженными частицами. В данном изложении почти всюду (кроме заключительных замечаний о релятивистской квантовой механике систем частиц) предполагается, что частица создает вокруг себя электрическое куло-новское поле и взаимодействие заряженных частиц между собой определяется прежде всего именно кулоновским потенциалом. В то же время в квантовой механике обычно приходится иметь дело не с одной заряженной частицей, а с их системами, например атомами или молекулами, что привносит дополнительное своеобразие в теорию.
Действительно, пусть имеется система п частиц с зарядами ц. и радиусами-векторами г.. Предположим, что эти частицы локализованы в некоторой сфере радиуса р, и рассмотрим потенциал, создаваемый всеми частицами вне этой сферы в точке
с таким радиусом-вектором К, что/? » г., V/ (см. рис. 2.4.1). В точке, определяемой концом этого вектора, электрический потенциал, создаваемый частицей с номером /, имеет кулоновский вид: Ф> = Я,№ ™ г/1~'> так что суммарный потенциал <р = ^Ф* в этой точке представляется следующим образом:
ф=2
Яі ІК-г,
(2.4.22)
128
Поскольку |К-г4|-д/(ДГ-*02 + (У-у,)2 + {I-г,)2 иЯ»г,то каждое слагаемое в этой сумме можно разложить в ряд по степеням х.9 у. и г.. Чтобы не загромождать текст, выпишем такое
Рис. 2.4.1. К определению потенциала в точке К, создаваемого системой зарядов вблизи начала координат (г < р « К).
разложение лишь для одного члена |К - г |, пока опустив индекс у г. и заменив х на хі9 у на х2 и г на х3, а X, У и 1 - на Ха, а = 1, 2, 3
соответственно:
/(хх,х2,х3) = \К-г\-1 =
X^ * * *
г=0
= /(0) + 2
дх
а
г=0
і З V ? 3
К а=1 Я 1 а,р-1
¦^а +...,
где использовано то обстоятельство, что, например,
—-х,)2 + (Х2-х2)2 + (Х3-х3)2 Й*а1 J
-У2
1
(Х1-х1)2+(Х2-х2)2+(Х3-х3)
2І-3/2 Э
дх.
Х„ -X
а
а а
5 — 1395
129
Следовательно, потенциал ср при таком подходе можно записать в виде ряда по степеням компонент радиуса-вектора К:
<Р4 + -тЕ^а+Лраеа(1^+-. (2А23)
п
где ?7 = 2)^; = ^^Ла и> как Уже было сказано, величины йа суть компоненты вектора (электрического) дипольного момента системы; бар = 2<?/(Зд:гахгр -г, 6ар) - компоненты (электричес-
кого) квадрупольного момента системы. Если записать компоненты векторов Киёв виде векторов-столбцов, а элементы <2ар = 0^ - в виде симметричной матрицы (2, то соотношение (23) может быть переписано и так:
