Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка):
Как и для обычного момента, для операторов спина можно ввести операторы повышения-понижения:
S+=Sx+iSy=n(°o J), S_-S,-iSy-*(J °). (2.5.8)
Например, при действии S+ на функцию х?] = Ф,а она переходит в нуль, а при действии его на функцию Ч*2 = Ф2Р она переходит в ЙФ а:
/о
....., ' Ч*2 =й
/о
о
Спин для каждой частицы определяется спиновым квантовым числом 5, входящим в собственное значение оператора 52. Он присущ как элементарным, так и составным частицам, например ядрам атомов тех или иных элементов. Обычно число 5 также называют спином частицы: для электрона 5 = 1/2, для протона 5 = 1/2, для дейтрона 2Н 5 = 1, а, например, для ядра атома бора |0В спин 5 = 3. (Отметим, что для одной частицы используется, как правило, строчная буква 5 , для системы частиц - прописная буква 5 , тогда как спин ядер обычно обозначается буквой I).
в. Сложение спинов. Для системы частиц спин вводится согласно равенству: 5 = 2)5,-, при этом каждый из операторов 5
должен действовать только на ту спиновую функцию, которая связана с 1-й частицей. Так, для двух электронов получатся следующие спиновые функции (пространственные функции типа Ф] и Ф2 выписывать не будем, ибо на них операторы спина не действуют):
ф, = а(1)а(2), ф2 = Р(1)а(2), Фз = а(1)Р(2), ф4 = Р(1)Р(2) (2.5.9)
(в скобках указаны номера электронов, к которым относятся соответствующие спиновые функции).
Подействуем на эти функции оператором 5г = 5г1 + 5г2 и учтем, например, то обстоятельство, что спиновые функции а(1) и а(2) являются собственными для операторов 5 , и 5 , с одним и тем же собственным значением, равным 1/2 в атомных единицах:
136
S,Ф. = + 5 2)а(1)а(2) - [5 ,а(1)]а(2) + а(1)[5 2а(2)] =
= ^а(1)а(2) +^а(1)а(2) = 1*а(1)а(2) = 1-ф,,
52ф2 = 0, 5гф3 = 0 и 5гф4--1-ф4. Действие оператора S2 = (S, + S2)2 = S,2 + 2S]-S2 + S2* осложняется присутствием перекрестного члена S,*S2, который можно представить в виде
s-s2 = 5,^, + stys2y + sj2z = (5,Л- + sm + (2-5л°)
С учетом этого представления далее уже не столь сложно найти, что 52Ф1 = [5,2 + 522 + 2 S]z S2z + (S1+ S2_ + 5,_ S2+)]a(l)a(2) = = 1-(1 + l)a(l)a(2) = 1(1 + 1)ф, (т.е. S = 1);
52ф2 = ф2 + ф3; А2ф3 = ф3 + ф2;
52ф4-1-(1 + 1) ф4.
Следовательно, функции ф, и ф4 - собственные для S2 с собственным значением 5(5 + 1) = 1-(1 + 1) = 2. Функции же ф2 и ф3 таковыми не являются, однако их линейные комбинации (ф2 + ф3) и (ф _ ф ) _ собственные для 52с собственными значениями 1*(1 + 1) и 0-(0 + 1) соответственно. В итоге получаются 3 функции, относящиеся к собственному значению со спиновым квантовым числом 5 = 1 и различающиеся проекциями на ось z: +1, 0 и -1 , а также одна функция, относящаяся к собственному значению со спиновым квантовым числом 5 = 0. Число, указывающее количество различных спиновых функций при данном 5 и равное 25+1, носит название мультиплетности состояния; компоненты мультиплета отличаются друг от друга проекциями на некоторую ось, например, осьг. В рассмотренном примере функции а(1)а(2), а(1)Р(2) + Р(1)а(2) и Р(1)Р(2) суть компоненты триплета, а а(1)Р(2) - Р(1)а(2) - синг-летная функция. Для одного электрона возможны две функции а(1) и Р(1), относящиеся к одному и тому же собственному значению с s = 1/2, так что эти две функции - компоненты дублета.
г. Спин и магнитное поле. Как было сказано в предыдущем параграфе, при наличии внешнего однородного магнитного поля в гамильтониане появляется дополнительный член, определяемый магнитным моментом частицы: -?tBQ. При учете спина
137
магнитный момент будет складываться из орбитального и спинового магнитных моментов: /і, + и если для электрона /і, = (#/2/яс)?, то для спинового магнитного момента электрона вновь возникает несколько неожиданное, хотя и следующее из теории и опыта выражение: ^ = (д/тс)5, так что полный магнитный момент для системы электронов в этом случае приобретает следующий вид
/г + 25). (2.5.11)
2тс
Для других частиц, имеющих ненулевой собственный момент (спин), множитель перед 5 будет другим: так, для протона этот множитель равен 5,5854, а для ядра 170 атома кислорода он равен -0,7572 (отметим, что спин этого ядра равен 5/2). В общем случае, следовательно
к 2ткс
причем gk носит название гиромагнитного отношения.
Даже если система находится в состоянии с нулевым орбитальным моментом, у нее может быть ненулевой спин, что приводит, как и в случае атомов серебра, к проявлению в магнитном поле состояний с различными проекциями спина.
д. Спин и симметрия волновой функции. Если в квантовой системе имеется несколько одинаковых частиц, например электронов или протонов, обладающих одними и теми же зарядом и массой, то различить эти частицы, сказать, какая из них первая, а какая вторая и т. д. невозможно. Эта неразличимость приводит к тому, что при перестановках индексов одинаковых частиц в волновой функции плотность вероятности меняться не должна, т.е. волновая функция при таких перестановках может лишь менять знак либо вообще должна оставаться без изменений. Оказывается, что волновая функция ведет себя различно при таких перестановках в зависимости от спина одинаковых частиц, входящих в систему: если спин 5 каждой частицы в системе одинаковых (тождественных) частиц равен полуцелому числу, как, например, для электронов, то при любой перестановке пары индексов этих частиц волновая функция должна менять знак на противоположный; если же спин 5 равен целому числу, например для дейтрона / = 1, для ядра атома 61л / = 1 и т.п., то в этом случае волновая функция при любой такой перестановке должна оставаться без изменений. Другими словами, волновая функция системы частиц
