Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка):
1 1
Я = - -А - - + E0zz (q = - 1). (2.4.12)
2 r v '
Для решения задачи с таким гамильтонианом сферическая система координат возможно уже будет не столь удобной, как ранее, ибо последний член в уравнении (12) содержит г = rcostf, т.е. и радиальную, и угловую переменные. Тем не менее, отсутствие зависимости в этом члене от угла ер означает, что эту переменную можно вновь отделить, и вырождение по квантовому числу /и, по-видимому, будет сохраняться. Что же касается квантового числа /, то оно здесь вообще не появляется, поскольку момент количества движения L2 уже не коммутирует с оператором Гамильтона Я (именно из-за члена с rcosO), а коммутирует лишь проекция момента ?z, так что сохраняется лишь одна проекция момента.
Во втором случае (однородное постоянное магнитное поле) Е = 0 и первое из соотношений (3) показывает, что dA/dt = -с grad ф. Коль скоро поле постоянно, то А и ф явно от времени зависеть не должны, что приводит к равенству grad ф = 0, т.е. ф есть некоторая постоянная, которую можно просто положить равной нулю. При этом все уровни энергии всего лишь сдвинутся на эту величину, т.е. изменится лишь начало отсчета для энергии. Второе же соотношение (3), как легко убедиться непосредственной
подстановкой, допускает следующее решение: А = -Вп хг так
2
что, подставляя его в (10), получим:
1 ^
Н = " А - Т~(В° Х Г)Р + Т-dIv(B° х г) + ^(В0 х г)2 + V(r).
2m 2mc Ame Orne1
zmc (2.4.13)
Если теперь учесть1, что (B0xr)-p=B0-(rxp) = (rx/>)-B0=L-B0,
1 Использована возможность в смешанном произведении трех векторов циклически переставлять сомножители: а-(Ьхс) = с-(ахЬ) = Ь-(сха).
124
где L - оператор момента импульса частицы, а также то, что div(B0xr) = 0, то для оператора Гамильтона в постоянном магнитном поле получим:
2
Я---- А - -^—L • В0 + -^-5-(В0 х г)2 + V(r). (2.4.14)
2m 2mc 8mc
При достаточно слабом магнитном поле третий член в правой части (14), квадратично зависящий от В0, будет мал. По этой причине мы им пока пренебрежем. Кроме того, коль скоро В0 -вектор постоянный, выберем его направление за ось г. Тогда уравнение (14) окончательно преобразуется к виду
Я = (- — А + V(r)) --3-L2B0z (2.4.15)
V 2m I 2mc
где круглыми скобками выделена та часть гамильтониана, которая остается и в отсутствие поля, т.е. не зависит от него.
Например, для атома водорода круглые скобки в (15) содержат обычный гамильтониан, который, как было показано в предыдущем параграфе, определяет поведение электрона (а точнее - частицы с приведенной массой ц) в центральном поле -поле протона. Этот гамильтониан коммутирует с!2и Lz, так что состояния, собственные для Я, являются одновременно собственными и для операторов момента с собственными значениями /(/ + 1) и m соответственно. Добавление к исходному гамильтониану члена, зависящего от LBQz, не меняет собственные функции: они остаются
собственными и для нового гамильтониана. А вот собственные значения, равные в случае дискретного спектра атома водорода Еп =-1/2л2, меняются: к величинам Еп добавляется член, зависящий от проекции углового момента:
En,m = "TT " T~mB0z . (2.4.16)
2nl 2\хс v
При заданном / квантовое число т имеет целочисленные значения от -/ до /. Поэтому вырождение по т снимается, появляется 21 + 1 уровень с одним и тем же расстоянием между соседними уровнями, равным -^—B0z и пропорциональным напряженности поля.
2\ic
Такое расщепление вырожденных энергетических уровней в магнитном поле может быть обнаружено по спектральным переходам между уровнями под влиянием электромагнитного излучения
125
соответствующей частоты. Оно называется эффектом Зеемана1. Как показывает рассмотрение классического выражения (4) для силы Лоренца, в однородном магнитном поле компонента импульса по направлению поля не меняется, тогда как его составляющая, перпендикулярная направлению поля, вращается вокруг вектора В с постоянной угловой скоростью, так что в среднем направление движения частицы сохраняется. В неодно-родном же магнитном поле возникает дополнительный эффект: частицы с разными проекциями момента импульса по-разному отклоняются от исходного направления своего движения, что приводит к расщеплению пучка частиц с одним и тем же начальным импульсом (см. следующий параграф).
в. Дипольный и магнитный моменты. Выражение (11) показывает, что в однородном электрическом поле к гамильтониану
исходной свободной системы частиц надо добавить выражение
Е0 ш-й-Е.
(2.4.17)
\ к
в котором множитель, заключенный в скобки, есть не что иное, как электрический дипольный момент системы. Поправка к гамильтониану в поле определяется, очевидно, проекцией дипольного момента (I системы на направление поля.
Если бы поле Е было неоднородным, но неоднородность была бы достаточно слабой, то Е для каждой частицы можно было бы разложить в ряд, например, вблизи начала системы координат, и ограничиться лишь линейными членами (Е0 = Е(0)):
Щ*і ) = Е0 +
дЕ
дХ;
дЕ дЕ
Уі г,-0 + —
г { + ...
її-о
При этом уравнение gгadф = -Е вновь можно проинтегрировать и получить выражение вида
