Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка):
О
обозначение s
1
Р
2 d
3 /
4 g
(начиная с / буквы идут в алфавитном порядке). Поэтому квантовое состояние указывается, например, следующими парами символов: Ь, 2б, 2р, ... . Если необходимо, то для состояний с 1*0
г,а.е.
о.з н
0.1 -
-0.1 j
10
15
- 3s Зр
- 3d
г, а.е.
20
Рис. 2.3.1. Радиальные функции для атома водорода (\хг= 1 а= IV а- функции и, 28 и 2р; б -функции 3., Зр и Зё. (Обратите внимание на протяженность функций при одном и том же главном квантовом числе п и на различие в масштабах радиальной переменной).
114
указывают справа внизу и значение квантового числа /и, называемого магнитным по той причине, что оно задает смещение уровня энергии в магнитном поле (см. § 4 и § 1 гл. III): 2р_1, 2р{) и 2р+1; Ъй_г и т.п.
В качестве общих характеристик радиальных функций можно отметить следующие:
1. Каждая из функций Фп ,(/¦) представляет собой произведение экспоненты на полином видаг/Рп_/_1(г). Поэтому у этих функций имеется п -1- 1 узлов, т.е. точек, где функция обращается в нуль (не считая г = 0 и г = о°). Функции с / = 0 при г = 0 отличны от нуля, тогда как с / * 0 они в этой точке обращаются в нуль.
2. По мере увеличения п радиальные функции имеют все меньшие максимальные (по модулю) значения и все большую протяженность.
3. Производная радиальной функции при г -» 0 должна стремиться, как показывает уравнение (7), к величине, определяемой уравнением
2^+(„-М^1))ф = о. (2.3.13)
с1х X
При / = 0 с учетом того, что х = г:
п
dr
= -HZ<X>(0). (2.3.14)
С другой стороны, при / * 0 в этом выражении доминирует второй член в скобках, так что производная в нуле будет либо равна
значению полиномаl}nl^(x) при / = 0, либо нулю при 1^1.
Выше уже говорилось, что числа / и /w, которые появляются при рассмотрении волновых функций, зависящих от углов Ф и ф, носят название квантовых чисел. Число п также имеет смысл квантового числа: оно задает радиальную волновую функцию (наряду с /) и полностью определяет энергию системы, поскольку
из (6) следует, что
? = -^Г(" = 1,2,...). (2.3.15)
в. Средние значения. Полная волновая функция каждого квантового состояния определяется произведением радиальной
и угловой частей: Ч^г, ф) = Фп ,(г)©1 т(Ф,ф).Вероятность
115
обнаружить электрон в заданной точке пространства с координатами г,#Иф равна
.2 ?
Р(г, q))drd'$dц) = Фп/(г)г^/т(^,ф) г^нгв^/г <ЯЫф .
В частности, в ^-состояниях плотность вероятности Р(г,Ф,ф) не зависит от углов и определяется только величиной
2 7
В отличие от Фп 0(г) функция Рп(г) в нуле обращается в нуль, а при О < г < °° она всюду неотрицательна. Ее экстремумы определяются обычным условием равенства нулю первой производной
dPn{r)
= Ir
2 аФ„п
Фя,о(г) +2г2Ф„0-^і, (2.3.17)
dr
dr
т.к. Ф rt вещественна.
п. О
Так, для ls-функции (см. приведенную выше таблицу) в случае атома водорода (Z = 1)
dP (г \
ХУ } = 2г4ег - 8г2е ' = 8/-(1 - г)ег. dr
Равенство нулю этой производной показывает, что максимальная плотность вероятности обнаружить электрон на некотором расстоянии от ядра достигается при г = I. Это расстояние, заданное в атомной системе единиц, называется боровским радиусом. При переходе к системе СИ величина г0 будет определяться следующим образом: г0 = h2l\xe2 = 5,29-1 0 9 м, причем в качестве ц берется масса электрона (см. § 1 гл. I). Для 25-функции условие (17) приводит к двум расстояниям с максимальной плотностью: г ^ = 3 ± л/5 , причем отношение плотностей в этих максимумах Р2(г,)/Р,(г,) « 3,7, т.е. второму максимуму отвечает более высокая плотность.
Среднее значение радиуса г в ls-состоянии
<г> = ^е^^йг = 4]>3е"2г?/г = о о 2
т.е. оно в 1,5 раза превышает боровский радиус.
Для состояний 2^, 2р, 3^, Зр, Ъd и т.д. картина получается более сложной. Для всех состояний, кроме л, есть еще угловая
116
зависимость. Например, для 2рг-функции
1 -г/2
4л/2я
re
cosi}
плотность вероятности будет определяться равенством
Р2Р, =
32л
r^cos^frsiniJe
Функция соз20ыпФ меняется от нуля до максимального значения 2/Зл/з при бшФ = ]/-Уз , а затем вновь достигает нуля при Ф = я/2. Функция /4е~г имеет максимум при г = 4. Следовательно, поверхности постоянной плотности вероятности Р2р, =с имеют вид торов, получающихся при вращении фигуры на рис. 2.3.1 вокруг оси г.
г. Краткий итог и сравнение с классической задачей. Решение задачи об атоме водорода при Е < О приводит к волновым функциям Фп 1 т(г,т>,ф), представляющим собой произведение радиальной и угловой частей, при этом получается дискретный набор уровней с энергиями Еп =» -1/(2п2), зависящими только от главного квантового числа п (рис. 2.3.2). Для каждого данного п
V(r)
сплошной спектр
п = I
Рис. 2.3.2. Уровни энергии для атома водорода.
существуют квантовые состояния с различными / - О, 1, ... , л - 1 и, кроме того, для каждого / имеется 21 + 1 состояний, различающихся квантовым числом т проекции момента количества движения на некоторую ось. Следовательно, каждый уровень энергии при заданном п вырожден, и кратность вырождения равна
117
^(2/ + 1) = п2 . По мере увеличения п уровни сближаются, имея в
