Квантовая механика и квантовая химия - Степанов Н.Ф.
ISBN 5-03-003414-5
Скачать (прямая ссылка):
Присоединение полиномы Лежандра могут быть вычислены по следующей простой формуле:
так что
1+т
* т А
P/"(cosft) = (-l)fS1 п/ d sin2'ft. (2.1.17)
' 2'/! (rfcosft)/+m
Нормированными на единицу функциями в™ (ft) будут следующие:
er(ft) =
21 + і (/ - И)! ы
х 7 P? '(cos-fr). (2.1.18)
(/ + |m|).
Следовательно, уравнение (13), если его вновь поделить на sin 2г>, имеет в качестве решений собственные функции 0™(^)> даваемые равенством (18), а собственными его значениями служат X = /(/+ 1)/2ц. Эти же значения X входят и в радиальное уравнение (10).
Отметим, что функции 0?(Ф) при различных / и одном и том же т ортогональны друг другу, так что
0т
m
в?>ш{в$ (Ъ)Ъ?(Ъ)ыъЫ&-ЬГ1Ьт.т. о
"Весовая" функция 8Іпг> в этом интеграле появляется из-за того, что при переходе к сферической системе координат элемент объема dxdydz переходит в г2 ьїпЬйгйіЬйу.
Первые нормированные присоединенные полиномы Лежандра
имеют вид
в°0 = -^, е?-^!**^; е?1-^^,
1 Лежандр Адриен Мари (1752 - 1833) - французский математик, член Парижской Академии наук. Первым открыл и применил в вычислениях метод наименьших квадратов. Ввел полиномы Лежандра, преобразование Лежандра, в вариационном исчислении установил признак существования экстремума.
87
86
02 = лР(Зсо52г}-1), 0*1 = ^8шг}со8#, 0*2 =^Н5ш2г> и т.д.
Таким образом, в центральном поле волновые функции частицы представляются в виде произведения трех функций
Ф(г, ф) = Л(г)0Н(д) Ф,„(ф),
причем, как показывает уравнение (10), радиальная функция Щг) и энергия частицы Е зависят от X, т.е. от /, и не зависят от т.
Угловые функции 0^1 и Фт не зависят от вида центрального
потенциала У(г), а также и от массы частицы
в. Рассеяние на силовом центре. Если потенциал У(г) таков, что он стремится к некоторой постоянной с, например равной нулю, при г -* °°, то в этом случае у задачи о частице в центральном поле при энергиях Е > с, вообще говоря, будут существовать решения, отвечающие непрерывному (сплошному) спектру (рис.2.1.2), причем собственные функции для такого спектра будут получаться при решении именно радиального уравнения. Эти функции детальнее мы обсудим при рассмотрении задачи с кулоновским потенциалом. Как уже говорилось, решения для непрерывного спектра не отвечают классическому финитному движению частицы. Они, по существу, служат лишь исходной конструкцией для построения таких их линейных комбинаций,
Рис 2.1.2. Области дискретного и непрерывного (сплошного) спектра.
удовлетворяющих уже не стационарному, а временному уравнению Шредингера, которые описывают распространение в пространстве некоторых приготовленных тем или иным путем в начальный момент времени квантовых состояний (так называемых волновых пакетов). Тем не менее, именно с этих "строительных" позиций знание их свойств весьма существенно.
Угловые части волновых функций, как показывает предшествующее рассмотрение, не зависят от того, есть ли дискретный (или непрерывный) спектр у конкретной задачи. Определяющую роль здесь играет лишь потенциал радиального уравнения:
Vl(r) = V(r) + l(l+l)/2\ir2 (см. рис. 2.1.3). Этот потенциал отличается от исходного V(r)
У
Рис. 2.1.3. Влияние центробежного члена на форму потенциала: а- изменение потенциала V(r) при добавлении центробежного члена; б - потенциалы Vt{r) при различных /.
89
88
дополнительным неотрицательным членом, который играет все большую роль по мере роста / (при больших / он практически пропорционален Р) и приводит к тому, что, начиная с некоторого /, любой потенциал, при г -» 0 стремящийся к минус бесконечности медленнее чем г~2 (например, по закону г~2+Е, где е - произвольное положительное малое число), становится всюду неотрицательным (см. рисунок), т.е. другими словами - отталкивательным. Для такого потенциала связанных состояний, т.е. состояний дискретного спектра уже не существует. Следовательно, при таких / любая частица будет рассеиваться на силовом центре: подходя к нему, она будет испытывать все большее отталкивание, дойдет до некоторого минимального расстояния, после чего начнет удаляться от него (использован для наглядности классический образ).
г. Описание движения частицы в центральном поле в классической механике. Уравнения движения в классической механике, например уравнения Лагранжа или уравнения Гамильтона, также допускают разделение переменных г, Ф и ф. Не останавливаясь на том, как это конкретно делается, напомним лишь основные получаемые для этой задачи результаты. У частицы в центральном поле сохраняется, т.е. не меняется во времени вектор Ь момента количества движения. Если выбрать систему координат так, что этот вектор будет направлен по оси г, то движение частицы будет происходить в плоскости о(ху) и, очевидно, Ьх - Ьу = 0. Координата г> при этом будет иметь фиксированное значение: т> = я/2. Зависимость координаты <р от времени получается при решении уравнения цг2ф = Ьг. Для радиального уравнения решения зависят от того, будет ли энергия частицы Е меньше или больше потенциала в некоторой конечной области значений г: в зависимости от этого частица совершает финитное либо инфинитное движение, соответственно.