Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
9.2, ОСОБЕННОСТИ СТОХАСТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ
Теория флуктуации является разделом статистической ме ники. Пусть р({г;}, {р,-}, () — плотность вероятности распре лепия N частин, образующих рассматриваемую систему, в п страпстве координат г,- и импульсов р,-. Рели функция р извести-, то микроскопическое состояние системы считается определенным, Рассмотрим совокупность переменных {йг}, определяющих макроскопическое состояние той же системы. В общем случае имеем а,- = о,({г,-}, {р,}). Пусть Р( {а,}) {ііа;} — вероятность того, что система находится в таком макроскопическом состоянии, в котором все переменные а-, заключены в интервале от {а,-} до (йі -\- ііа,}. Эта вероятность выражается через функцию
Замечания общего характера
237
р следующим образом:
р (w> о $ <<м ш р цг,), {Pii t). (9л>
Если разложить Р вблизи некоторого стандартного состояния {а,-0}, то равенство (9.1) может дать вероятность различных флуктуации вблизи этого состояния.
Для системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, функция р известна, и равенство (9.!) может служить в качестве отправной точки для построения теории флуктуации (см, разд. 9.4), Однако для неравновесных систем применение соотношения (9.!) затруднено, поскольку сложно определить вид функции р, По згой причине мы используем метод, промежуточный между макроскопическим описанием и подходом, характерным для статистической механики, Основная идея этого метода, известного под названием стохастической теории, состоит в том, что обусловленные флуктуацнями изменения переменных а, рассматриваются как случайные, или вероятностные, процессы, для которых характерно отсутствие однозначной зависимости этих переменных от времени, играющего роль независимой переменной. Таким образом, наблюдение над различными элементами из ансамбля изучаемых систем дает разные функции Q-t(t). Отсюда следует, что необходимо рассматривать соответствующие распределения вероятностей, такие, как
Р\{{а), t) {da} = Вероятность нахождения
{а} в интервале {a}, {a-j-da} в момент времени I; pa({ai}'b {^}k) {da,} {daq}= Вероятность нахождения .
{а} в интервале {a,}, (a,+da,) '
в момент времени t\
и в интервале {%}, {a2-\-da2}
в момент времени t2,
где
I, Pi>0 (9.3)
(/=1,2, ...).
Часто бывает целесообразно характеризовать распределение вероятностей при помощи нескольких «типичных величин», Наиболее важной из таких величин является «математическое ожидание», или «среднее значение», Fro определение следует из. обычного представления об арифметическом среднем:
ЕйаР, ({о}, О. (9.4)
238
Глава 9
По определению <йй) не зависит явно от величины флуктуации. Чтобы выяснить, насколько последние велики относительно средних значений, в рассмотрение вводятся математические ожидания комбинаций случайных переменных второго и более высоких порядков:
<а*а|)< = X ЧЩР\ (И. I) и т. д. (9.5)
После разложения ак вблизи среднего значения <а&> от (9.5) можно перейти к дисперсиям, определенным соотношениями
<6а«.6а,) = (О* — (а*)) — ("/))) и т. д. В частности, имеем
<(ЧУ> = <«*>-<«.>'.
(бафа,) = (ака,) — {ак) (а,) и т. д. (9.6)
Представление о «распределении вероятностей» известно из статистики и теории игр. Весьма примечателен тот факт, что существует несколько распределений, встречающихся в удивительно большом числе задач, от генетики и экономики до теории игр. Вот три основных распределения, связь между которыми рассматривается в теории вероятностей; а) биномиальное, б) пуас-соновское и в) нормальное, или гауссово [104].
Распределения а) и б) типичны для задач, содержащих схему Берпулли, т. е. включающих повторяющиеся независимые события (или испытания), в каждом из которых-возможно только два исхода, причем вероятность того или иного исхода от испытания к испытанию не изменяется. Обычно принято обозначать эти вероятности как р и а и использовать устоявшуюся терминологию теории игр, связывая р с «успехом», а ц с «неудачей». Очевид-но, р ^ 0, а ^ 0 и р + ц = 1.
В задачах с биномиальным распределением обычно рассматривают лишь полное число успехов, возникающих в последовательности п испытаний Бернулли, безотносительно к порядку их следования. Можно показать [104], что вероятность того, что п испытаний приведут к к успехам и (п — к) неудачам (0 ^ к ^ п) равна
Р„(к; п, р) = (^)/(1-рГ\ (9.7а)
Среднее значение и дисперсия, характерные для этого распределения, выражаются соответственно следующим образом:
(к) — пр,
(бк-2) = пр(\-р). (9.76)
Замечания общего характера
239
Допустим, что мы выбрали произвольный интервал (времени) длины / и разделили его на подынтервалы длины Если в
каком-то конкретном подынтервале содержится хотя бы одно из случайных событий, то мы условимся называть такой случай «успехом». Рассмотрим последовательность испытаний Бернул-ли с одинаковой вероятностью р„ успехов. Полное число таких испытаний есть ближайшее к п1 целое. Введем такое %\ что при
г!-*- со
„ _ *(
Тогда можно показать [104], что при п~*- оо вероятность обнаружения ровно А успехов при испытаниях дается распределением Пуассона
