Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Николис Г. -> "Самоорганизация в неравновесных системах" -> 71

Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.

Николис Г., Пригожий И. Самоорганизация в неравновесных системах. Под редакцией доктора хим. наук Ю. А. Чизмаджева — М.: Мир, 1979. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): nikolis-prigogine.djvu
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 171 >> Следующая

Х(т, 0) = ф(г),
У (г, 0) •=¦(!¦), * (8.786)
где единичный вектор п является нормалью к Ограничивающей поверхности, а <р и \р—-гладкие функции пространственных координат. Вследствие малости е эволюцию системы можно представить следующими двумя стадиями.
Днссипативпые структуры и явления самоорганизации
221
Стадия 1: развитие больших градиентов
Будем считать по крайней мере сначала, что- величина в?2Х пренебрежимо мала. Тогда
- V*Y = е (X, У).
(8.79)
Будем считать также, что У не зависит от времени У = У(г) = гр(г).
Рассмотрим траектории системы в пространстве (X, У) (рис. 8.17) при фиксированном г. Поскольку У от времени не зависит, эти траектории, очевидно, будут горизонтальными. Обратимся теперь к линейному сегменту (о'), расположенному в пространственной области. Этот сегмент имеет свое изображение в исходной фазовой плоскости (У, X). Кроме того, допустим, что расположенные на кривой / = 0 стационарные состояния характеризуются различной устойчивостью, как это имело место в примере из разд. 8.4. В частности, пусть состояния на участке кривой / = 0 с отрицательным наклоном будут неустойчивыми, а остальные—устойчивыми. Поскольку эти состояния имеют разную устойчивость, различные участки кривой f = 0 движутся в фазовом пространстве (X, У) в разных направлениях. Так, часть (а'), расположенная выше горизонтальной линии У[, стремится к отрезку A'IjV кривой f = 0, в то время как расположенная ниже У3 часть стремится к отрезку OF. Поскольку ветвь HPK неустойчива, расположенная между Y\ и У2 часть
с, 8.!7. Переход системы па разные участки устойчивых ветвей й0 и н\ "Р'1 разных начальных условиях, соответствующих кривой (о').
222
Глава 8
Рис. 8.18. Образование поверхностей разрыва г; в реакционном пространстве.
стремится к йН, а часть, расположенная между У2 и Уъ, стремится к КЬ.
Если бы эта упрощенная модель была справедлива при /~> -v со, то было бы достигнуто асимптотическое состояние, в котором величина X испытывала бы ряд разрывов на участках МЬ, КН и СР. Однако градиент УК При этом оставался бы ограниченным. Иными словами, в области V возникли бы поверхности разрыва Г;, разделяющие два различных состояния. Это проиллюстрировано на рис. 8.18, где показана также линия (а'). Ситуация напоминает теорию катастроф Тома (см. разд. 6.4), хотя уравнения, с которыми мы имели дело в настоящем разделе, отличаются от уравнений в теории Тома. Позднее Мы отметим также некоторую аналогию с фазовыми переходами первого рода.
Очевидно, описанное выше поведение имеет место при
« I. (8-80)
Такие чрезвычайно большие градиенты возникают на поверхностях Г;. Если, как это обычно н бывает, У зависит от времени, то траектории в фазовой плоскости уже не будут горизонтальными. Они могут уходить на бесконечность, в область отрицательных значений, или становиться периодическими, хотя в частном случае модели (8.78) это и не имеет места. Тем не менее общая картина эволюции системы будет такой же, как и в рассмотренном выше случае, и конечным результатом является возникновение больших градиентов на поверхностях Г;.
Стадия 2: медленния миграция носителей
По мере приближения | ЧХ\ к значению (8.80) начинается миграция соответствующих носителей. Предположим, что на поверхности Г происходит скачкообразное изменение от Х0 Д° X]. Тогда можно провести стандартный асимптотический анализ
Диссипативные структуры и явления самоорганизации
223
Рис. 8.19. Решения нелинейного уравнения диффузии (8.82), описывающего эволюцию фронтальной поверхности.
[107], основанный на использовании «растянутой» переменной т), изменяющейся вдоль нормали х к поверхности Г и определенной как (см, рис. 8.18)
4 = 7- (8-81>
Сохраняя главные плены и замечая, что вблизи Г величина У изменяется плавно, запишем уравнение для X в следующем виде:
(8.82)
дХ д2х ( . „ ,.. .. ~-1ЩГ=!(Х> У (ег))).
Это дает нам единственное нелинейное уравнение диффузии, описывающее движение фронтальной поверхности. Граничными условиями служат:
X -*-Х0 при п — со,
v v , 8-83>
Х->Х[ -при т]-*+ °о-
Решение этого уравнения имеет вид, показанный на рис. 8.19, и описывает плавный переход между обоими состояниями. Однако в общем случае фронтальная поверхность с течением времени изменяет свое положение:
Х(ть 1) = и(ц-с1). (8.84)
Такие решения не обязательно единственны. Отметим, что если возвратиться к исходным переменным, то скорость распространения будет равна е.с. Значение скорости изменяется от точки к точке, поскольку У= У(г).
Можно показать, что если в процессе перехода происходит однократное изменение знака функции }, то скорость распространения с и форма фронта волны являются единственными и устойчивыми. Кроме того, если имеет место переход между двумя «притягивающими» ветвями / (т. е. ОЧ и MN), то с может обратиться в нуль.
В результате перемещения поверхности Г она может либо подойти к границе 2 реакционного пространства и слиться с граничным слоем, либо столкнуться с другим фронтом и исчезнуть,
к
224
Глава 8
либо достичь некоторой стационарной конфигурации Го- Скорость с каждой точки на поверхности Го равна нулю. Можно показать [108], что отсюда следует вывод об «одинаковой доминантности» обоих состояний Х0 и Хи т. е. что выполняется известное в теории фазовых переходов первого рода правило Максвелла (см. рис. 8.17)
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 171 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed