Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
Однако в состояниях 0 или а невозможны никакие переходы — попав в одно из этих состояний, система остается в нем навсегда. Несмотря па свою простоту, эта модель дает довольно реалистическое описание движения тяжелой частицы в жидкости, состоящей из легких частиц. Это движение известно под названием броуновского (см. разд. 10.3).
Образно говоря, такая же задача возникает в случае игрока, который выигрывает или проигрывает некую сумму денег с вероятностями соответственно р и q. Если игрок имеет начальный капитал г, а его партнер — (а — г), то игра будет продолжаться до тех пор, пока капитал игрока либо уменьшится до нуля, либо увеличится до а, т. е. до тех пор, пока один из двух игроков не разорится. Эта классическая задача «о разорении» эквивалентна некоторым задачам популяционной генетики, в которых рассматривается исчезновение мутанта или вида в системе конкурирующих популяций. Аналогичные задачи изучаются при исследовании химических реакций с автокаталитическими стадиями [242].
Еще одной иллюстрацией марковских Процессов может служить модель Эренфеста [189]. Пусть iV объектов (например, N шаров) распределены между двумя ящиками А и В. Положим U—?[=Дг=1. В момент f = случайным образом перекладывается один шар из одного ящика в другой. Пусть соответствующее состояние системы определяется числом шаров в ящике Л, и допустим, что в момент t = п в ящике А имеется ровно k шаров (k^N). Тогда вероятность достижения в момент / = = п -j- 1 следующего состояния, в котором в ящике А будет (А — 1) или (k -\~ 1) шаров, зависит лишь от числа шаров в А при t = п. Таким образом, рассматриваемая последовательность событий определяет марковский процесс. С другой стороны, переход ft-> ft— 1 соответствует тому, Что шар был извлечен из ящика Л, а переход k~*-k -j- I —тому, что шар был извлечен из В. Соответствующие условные вероятности имеют ВИД
W2{k, *-=л|А-1, f*=a+I)=-?, W2(k, t = n]k+l, /«=/»+])= 1 -~,
Ws =0 (в остальных случаях}. (9.14}
Замечания общего характера
243
В приведенных выше примерах мы рассматривали специальные типы марковских процессов, в которых вероятности переходов зависят от ii и t2 только через разность St = ?2—1\. Такие процессы называются стационарными марковскими процессами. Используя приведенные в настоящем разделе определения, для такого процесса можно записать уравнение относительно Pj, называемое уравнением Чэпмена — Колмогорова [104]:
для любых St из интервала 0 ^ St ^ t. Для упрощения изложения здесь и далее в настоящем разделе будем считать, что переменные {а} являются дискретными. В этом случае принято говорить о марковской цепи. Для непрерывных переменных (па-пример, вследствие пространственных зависимостей) сумму в (9.15) следует заменить интегралом. Отметим также, что в силу определения W2 (9.11) уравнение (9.15) нелинейно относительно Рг. Это уравнение может быть преобразовано к эквивалентному виду, в котором неизвестной функцией будет Wz,
Пусть St в (9.15) определяет продолжительность элементарного события. Тогда W-?(St) есть вероятность того, что за время St система совершит один переход из состояния {а} в состояние {c?a}. Поскольку мы рассматриваем непрерывные во времени процессы, удобнее использовать вероятности перехода в единицу времени. Для этого положим k = (aj, t = [а2] и введем определение:
.. w,(k\i, ДО юи = lim '-- =
Ai-Ю ai
= Вероятности перехода в единицу времени между двумя различными состояниями (кф1); (9.16)
.. \ — Wt{k\k, дл
= A-д^"1 =
= Вероятности перехода в единицу времени из состояния k.
(9.17)
Очевидно, что
[кф1);
Wkk^O. (9.18)
Кроме того, используя равенство (9.12}, можно записать
5>« = 0. (9.19)
i
В предположении, что значения Wkt существуют и конечны, легко получить уравнение для вероятностей Pi({o}, IJ = P(k, t)
244
Глава 9
путем суммирования (9.15) по {а\} и разложения Р(А,/ —Л() в ряд Тейлора вблизи Р(к,і). После этого непосредственно получаем
Таким образом, изменение Р во времени обусловлено конкуре| цией между «накопительными» членами, соответствующими реходам и членами, отражающими «потери» при пере?
дах к-^1. С настоящего момента и далее мы будем называй соотношение (9,20) фундаментальным уравнением. В последующих главах это уравнение играет весьма важную роль,
В качестве простого примера рассмотрим сначала уравнение Чэпмена — Колмогорова (9.15) для модели Эрепфеста. Из (9.14) после суммирования по всем переходам, приводящим к изменению числа шаров к в одном из ящиков, имеем
Р(А, І + Л/) — (і-Л^1)Р(к- 1, 0 + 0. (9.21а)
где А = I, ..., Л/ — I и
Р(0, t + At) = ±.p(\t і),
N
P(N,t + Ai) = ±P(N- І, і).
(9,22)
В рассматриваемой модели At принято равным единице. Если в предельном случае Д/-*0 разложить левую часть уравнения (9.21) в ряд по степеням At, то можно показать, что для Преобразования этого уравнения в фундаментальное необходимо разделить на Ai и установить смысл величин (Л()~'(к~т- в пределе Л/->0. Сделать это нельзя до тех пор, пока для вероятностей переходов (9. ] 4) не будут введены дополнительные ограничения. Эта задача обсуждается в разд. 10.3, где в качестве примера рассматриваются случайные блуждания.
