Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
В общем случае все значения а, отличны от нуля. Для процесса Гаусса — Маркова имеем
«((№))«= 0 при />2, (10.7)
тогда уравнение (10.5) принимает вид
Выполняя справа от знака равенства интегрирование по частям к учитывая, что <2({Х;}) есть произвольная функция, можно записать следующее уравнение:
+ Е^17^'"/(№})^(№}, 0. (Ю.8)
Это так называемое уравнение Фоккера — Планка [406].
Прежде чем двигаться дальше, целесообразно прокомментировать смысл этого уравнения в свете представлений, развитых в разд, 9.2 и 9.3. Рассмотрим задачу о случайных блужданиях. Используя вероятности перехода в форме (9.13) и принимая, что
9 Зак. 1286
2S8 Глава 10
временные и пространственные интервалы равны Д; и Ах соответственно, лшжно записать уравнение Чэпмена — Колмогорова в виде
Р(Х, I + Al) = pP(x — Ах, t) + qP{x + Ax, !). (10.9)
Обсудим теперь предельный случай, когда между соседними точками происходят очень быстрые скачки (Д*->0) на очень малые расстояния (Д.г-»-0)_ Тогда в уравнении (Ю-9) можно выполнить разложение в ряд по степеням At и Ах; несколько первых членов дают
Если разделить обе части на At и рассмотреть предел при Д(->0, то величины типа (Д()-'(<7— р)Ах и Ax2j2At должны получить определенный смысл. Эту задачу, упоминавшуюся ранее в связи с уравнением (9.21) при анализе модели Эренфеста, можно решить в некоторых простейших случаях, таких, как броуновское движение [406]. Действительно, в этом случае, поскольку q =
= Р-Ч2,
я-р = о,
причем можно показать, что значение Дх2/2Д; существует для всех Дл:, At (в частности при Д,г->0, At—»0) и определяет коэффициент диффузии броуновской частицы. Поэтому можем принять
2At U'
Я - Р = - 7Г Ах<
где D и ?—конечные величины. В пределе Д/->0, Л*->0 все члены, содержащие Ах в третьей и более высоких степенях, исчезают' тогда
Dg-. (юле,
Это уравнение имеет такой же вид, что и (10.8), причем в него вошли «коэффициент сноса» %, связанный с различием между вероятностями перехода р и q, а также постоянный «коэффициент диффузии» D. Таким образом, случайные блуждания могут служить одной из моделей процесса Гаусса — Маркова.
Иная ситуация возникает в случае химических реакций. Здесь обычно рассматриваются непрерывные во времени (Дг->0) и дискретные в пространстве случайных переменных {Л,} процессы. Кроме того, вероятности перехода в единицу времени w в предельном переходе Дг—*0 определены однозначно [см. равен-
Описание флуктуации в терминах процессов рождения - гибели
259
ства (10.3)]. Можно попытаться вывести фундаментальное уравнение без дополнительных допущений, как в задаче о случайных блужданиях. При этом даже для простейших реакций условие (10.7) никогда не выполняется строго*). Например, для реакции
имеем гх^ = + 1, гх = — 1 и ю(Х^Х + 1) = &,Л, т[Х^Х — — У)~к2Х. Таким образом [см. уравнение (10.6)],
а1,х^^[к,А + к2Х[-\)<].
Очевидно, это выражение никогда не обращается в нуль. По* этому из уравнения (10.8) в лучшем случае- можно получить приближенное решение фундаментального уравнения. Однако Ван Камней [397, 398] похазал, что если оставить нелинейные вклады в вероятности перехода й1 и а2, то Это эквивалентно учету членов того же порядка, что и высшие моменты. Позднее этот автор предложил метод регулярного разложения фундаментального уравнения, который приводит к уравнению Фок-кера — Планка с коэффициентами, линеаризованными вблизи значений, соответствующих макроскопической эволюции.
Суть метода Ван Кампена сводится к допущению, согласно которому соотношения (9.19) — (9.22) распространяются на неравновесные состояния в том смысле, что;
распределение Р[{Х),() является гауссовым при V—*сс, т.е. в предельном случае макроскопической системы;
состояния {X,} распределены вблизи наиболее вероятного значения *'*){ХТ (!)} с дисперсией порядка V:
где ХТ$)осУ.
Таким образом, отклонение от X? имеет величину порядка У'!г. Введем новую, не зависящую от У переменную ? (для упрощения здесь и далее до конца разд. 10-3 рассматривается одна
*> В связи с этим можно напомнить теорему [309]. согласно которой допущение ш — 0 при четном I фактически эквивалентно предположению о равенстве нулю веек ш при I 55 3.
**) Отметим, что в общем случае ^ Х™. Имеются основания пола-
гать, что наиболее вероятное значение соответствует результатам макроскопических наблюдений. В общем случае (X) в хорошем приближении согласуется с макроскопической величиной, если только распределение Р не имеет нескольких инков.
в*
2С0
Глава Ш
случайная переменная), полагая
X=Xm{!)=V\ (10.1 la)
нлн в терминах безразмерных переменных
X = y{t)+V~\ 1
Эти выражения можно подставить в фундаментальное уравнение (10.2) и выделить зависимость функции Р от ?:
P{t.r)«mp(y[r) + V-\t). (10.12)
Производная dPjdt зависит от времени как явным образом, так и неявно через y(t):
dP(%. t) _дР vlh$P_d4_ dt dt "г v dl dt '
Как и раньше. Правая часть фундаментального уравнения разложена в ряд Крамерса — Мойела [см. уравнения (10.56), (10.8) ]. Кроме того, моменты разложены по степеням ^-''^.Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях V~'ls в обеих частях равенства, получим
