Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
Среднее значение и дисперсия числа успехов равны соответственно
(ЙА8) = М = (А). (9.86)
Гауссово распределение возникает в предельных случаях в результате применения закона больших чисел [104].
Закон больших чисел. Если {а&} — последовательность взаимно независимых и одинаково распределенных случайных переменных а если существует математическое ожидание (аи) = = <а>, то для каждого е > 0 при п-»-оо справедливо соотношение
¦ Р{\^^Г^~(а)\>^}^0, (9.9)
Иными словами, вероятность того, что невзвешенное среднее (01 + ... + ап) /п отличается от истинного среднего значения па величину, меньшую любого заранее заданного е, стремится к единице.
Центральная предельная теорема. Допустим, что кроме среднего значения существует дисперсия ((6йй)2> з= о2. Тогда для каждого заданного в при п оо имеет место соотношение
Р{Ь+ '"от"?"""*'0 <н}^Ф(Р), О-Юа)
где Ф(р) — нормальная функция распределения
в
240
Глава 9
Подынтегральная функция в равенстве (9,106) называется гауссовой плотностью вероятности.
Отметим, что если выполняются условия применимости центральной предельной теоремы, то порядок величины дисперсии относительно среднего значения определяется автоматически. В самом деле, пусть А — некоторая экстенсивная случайная переменная
А = аг + ... -\-ап, (А) = п(а),
где число п характеризует размер системы. В соответствии с соотношением (9.10а) дисперсия (_ЬА2у ограничена величиной порядка о2п, т. е.
(бА2)сх(Л).
Иными словами, порядок величины наиболее вероятной флуктуации ЬА связан с (А} соотношением
6Асх(А)'к ос/Л
Следовательно, по мере увеличения размера системы относи--тельная роль флуктуации уменьшается;
{А) п п'"
Этот же результат имеет место в случае биномиального и пуас-соповского распределений, рассмотренных выше.
Рассмотрим теперь такой случай, когда отношение ?>А/([А) стремится к нулю медленнее, чем/г-1'-, остается постоянным или даже стремится к бесконечности при п-*-оо. При этом уже нельзя говорить о четком разделении масштабов макроскопических средних и флуктуации. Следовательно, состояние системы уже не может характеризоваться средним .значением <о> или (А). Иными словами, допустимое законом больших чисел «отождествление» среднего арифметического большого числа случайных значений и вероятностного среднего не совсем осмыслено. В таких случаях- мы будем говорить о нарушении закона больших чисел. Ниже будет показано, что эта ситуация характерна для фазовых- переходов в равновесных- системах, а также для неравновесных неустопчивостей, приводящих к диссипатпв-пым структурам.
Важно отметить, что в то время как в случае пуассоповско-го распределения среднее значение и дисперсия связаны соотношением (9.86), при наличии процесса, описываемого гауссовым распределением, среднее значение и дисперсия фигурируют в качестве двух независимых величин. Этот вопрос мы обсудим в
Замечания общего характера
241
последующих главах, поскольку в стохастических задачах, связанных с химическими реакциями, встречается преимущественно пуассоновскос распределение.
9,3. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
В предыдущем разделе рассматривались главным образом независимые испытания, для которых совместная вероятность последовательности событий обладает свойством мультипликативности. В теории марковских процессов допускается рассмотрение таких случаев, когда исход данного испытания может зависеть от исхода предыдущего испытания. Для этого вводятся условные вероятности й72({й|}/11 {а2}12), а также новые вероятности, связанные с Р, в (9.2) следующим образом:
/мы'.! {й2}12)=^2({а1)11\[а2)12)ХР1({а1), /,) (9.11) и т. д., где [ср. с (9.3)]
Т,№2({а1)11\{а-2}12) = \, У72>0 и т. д. (9.12)
Совокупность чисел, удовлетворяющих (9.12), определяет стохастическую матрицу.
По определению процесс называется марковским, если условная вероятность №'2 содержит всю необходимую информацию о процессе. Иными словами, «память» системы ограничена одним шагом, или — в более общем случае — небольшим числом шагов. В теории вероятностей такого рода процессы встречаются очень часто. В качестве простейшего примера можно рассмотреть задачу о случайных блужданиях. В момент времени 0 «частица» находится в начальном положении г. а в моменты времени I, 2, 3, ... (или через \1, 2Д(, .. ., где А! = 1,+, —- /,) она перемещается на единичное расстояние в положительном или отрицательном направлениях с вероятностью р к д соответственно, в зависимости от того, что было результатом соответствующего испытания — успех пли неудача. Можно рассматривать неограниченные или ограниченные случайные блуждания. В последнем случае процесс заканчивается при первом же достижении частицей точек 0 или а, действие которых эквивалентно поглощающим экранам. Для таких блужданий матрица условных вероятностей имеет вид
1 0 0 . о 0 0
я 0 р ¦ ¦ . 0 0 0
0 я 0 р . . . 0 0 0
0 ¦ я 0 р
0 0 0 I
242
Глава 9
Иначе говоря, в каждом из внутренних состояний (т. с. для точек, отличных от 0 и а) возможны переходы направо или налево в соседнее состояние:
W2(i, / = л|/+ 1, t = tt+\) = p, ИМ», t = n\i— 1, (=n+ l) = a.
