Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
Пунктиром показана асимптотическая крігнан ? І.Х. У)—О, соответствующая В-*™. Фазоазн траекторий при конечном значении параметра В показана сплошной линией.
(формально йУ/сН-+ со при В -> со) всюду, за исключением кривой, уравнение которой имеет вид
й(У, 2) = 0. (8.686)
Аналогично фазовые траектории [см. уравнение (6.15)]
1
гіг
В ё (У, 2)
будут практически горизонтальными всюду в плоскости {1, У), кроме кривой (8.686).
На рис. 8.15 показана кривая g=0 а пространстве исход-пых фазовых переменных (X, У). Из уравнения (8.68а) следует, что эта кривая состоит из двух ветвей:
X ~ О (путь О'Е') ХУ~В (путь О'Н'Е").
(8.68в)
Более точную фазовую траекторию, построенную при конечных значениях В и показанную на том же рисунке, можно найти Следующим образом. Прежде всего, если система движется [вдоль части ОЕ предельного цикла, которая должна проходить
218
Глава 8
вблизи линии D'E' [см. уравнение (8.68a)j, то ^^=0(S_1) и производная dX/dt практически обращается в нуль:
(Л = В + 1, | = о(1)). (8.69)
Если ввести в уравнение траектории переменную | и искать асимптотические решения этого уравнения при ?,^-<х>, то можно получить аналитическое представление этой траектории вдоль DE, нарушающееся при 1 = 2, т. е, при У =Х2/4А. Очевидно, При дальнейшем движении вдоль EF величина У достигает максимального значения, X начинает увеличиваться, а | перестает быть малой величиной порядка о(1). Для изучения этой части траектории наиболее удобны переменные
X==?L(l + u), У = ^(\ + р). (8.70а)
Решая уравнение траектории в таких переменных, находим, что
У1ПЗ, = ~+^+о(1), (8.706)
где | — первый положительный корень функции Эйри д1(—Z), Далее следует рассматривать движение вдоль пути FG, расположенного вблизи линии
X + K = const = Kraax, (8.71)
После этого X уменьшается от своего максимального значения 0(?,2), в то время как У остается меньше, чем 0(Х). Чтобы изучить движение в этом режиме, положим
Х^~+^акУк. (8.72)
Оказывается, что это решение, имеющее вид ряда, расходится при У = в''\ что соответствует точке Н на траектории. При помощи специального метода суммирования этого ряда можно получить решение в виде [см. второе уравнение (8.68в)]
При этом точка, изображающая состояние системы, движется вдоль пути HD, расположенного вблизи линии
X + У = const = 2В\ (8.74)
до тех пор, пока снова не будет пересечена линия dX/dt = Q н цикл не завершится.
Диссипативные структуры и явления самоорганизации
219
По аналогии с только что описанным решением период колебаний также можно разбить на три части; в) 7, = Тон, б) 7г = е= Tef и в) Т3= Тан. поскольку легко видеть, что при ? —*¦ ос «скачки» из F в С и из Я в D происходят мгновенно.
Из кинетических уравнений и (6.15) можно получить
с dY Y„ — Yr> >• 2 In 2 — I
T2= Pa e- + 0{\)
а
-s
¦A~X-Vt + ]PY --1іп^-1пЛ-21п2 + о(1). (8,75)
Таким образом, с учетом уравнения (8.70) и значений У>, YE и Yd для периода предельного цикла можно записать следующее выражение:
Т = ^ + ^(1-1п2)--^- + |-]пА + о(1). (8-76)
Чтобы определить вклад малой добавки о(1) более точно, не-: обходим более глубокий анализ.
Новым важным явлением, которое может наблюдаться в надкритической области в связи с периодическими во времени решениями, является вторичная бифуркация, изучавшаяся в разд. 7.9 на примере стационарных решений. Чтобы распространить такого рода анализ на периодические решения, необходимо изучить устойчивость этих решений. Такая теория, разработанная Флоке [258], имеется для обыкновенных дифференциальных уравнений. Саггннгер и Джозеф [188] обобщили эту теорию на случай дифференциальных уравнений в частных производных в связи с задачами о гидродинамической устойчивости. При помощи этих методов можно показать, что вторичная бифуркация предельного цикла в тримолекулярной модели невозможна как в пространственно-однородном случае [228], так и при наличии Диффузии [101].
Сингулярное возмущение
и формирование поверхностей разрыва
Рассмотрим реактор конечного размера с двумя реагентами, Коэффициенты диффузии которых Di и Dz сильно отличаются. Кроме того, допустим, что химическая кинетика определяет би-Стабильный процесс, как и в разд. 8.4. Полагая vt = Dl/D2 и
220
Глава 8
Рис. 8.16. Предполагаемый вид кривой f {X, Y) = 0. Ветви h0 и Ai устойчивы, а ветвь Y = k?(X) неустойчива.
вводя коэффициент диффузии ?>2 в единицы измерения пространственной и временной переменных, кинетические уравнения можно записать в виде [108, 300]
дХ
^ — t*V*X = f(X, У),
ЗУ
^-V*Y = g(X, К),
(8.77)
где 8< I. Поскольку кинетика имеет бистабильный характер, одна из кривых / = 0 или g = 0 имеет сигмоидальный вид. Полагая, что Это относится к функции {(X, К)=0, мы получаем кривую, показанную на рис. 8.16.
Свойством бистабильности обладает следующая простая модель:
А+ У-*Х + У, Х-*У + В, ЗХ^С,
О + 2Х-»ЗХ+ Е, (8.78а)
где -С Ог (01 = Ох, Ог=Оу). Необходимо рассматривать поведение системы во времени при следующих граничных и начальных условиях;
п • УХ = а, (Х0 — X), п - УК = % (К0 — К),
