Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.
Скачать (прямая ссылка):
Последний вопрос относится к влиянию внешних подей на совокупность нелинейных осцилляторов. Систематическое исследование поведения отдельного осциллятора Ван-дер-Поля, находящегося во внешнем периодическом поле, проведено в работе Николиса, Галаноса и Протонотариоса [281] с использованием как аналитических, так и численных методов, В зависимости от интенсивности поля и соотношения между собственным периодом системы и периодом изменения поля был обнаружен ряд интересных явлений: а) возникновение ведущего центра, 6} локализация фаз, в) ограниченная разность фаз между осциллятором и полем, г) колебания со свободно изменяющейся разностью фаз или д) затухание колебаний*}.
Известны также работы [210], посвященные изучению совокупности не связаннЪ5Х между собой осцилляторов со статистическим распределением собственных периодов, находящихся во внешнем поле. Показано, что при выполнении определенных условий распределение установившихся частот имеет высокий центральный пик с быстрым падением по обе стороны от него. Этот результат может оказаться полезным при интерпретации электроэнцефалографическнк данных в области частот ~ 10 Гц.
Одним из наиболее интересных свойств нелинейных осцилляторов является их способность генерировать отдельные импульсы при внешнем стимулировании [308, 418], В зависимости от продолжительности стимула и его силы Ь фаза осциллятора (т. е. достижение максимума) устанавливается с различными задержками 0=0 ((о, О). При критических значениях (7ц, й) колебание практически отсутствует—величина Э становится неопределенной. Эта особенность согласуется с тем фактом, что При наложении возмущения амплитуда колебаний сильно изменяется и в дальнейшем может восстановиться, по уже с произ-
*) По этому поводу см.: Ивашщкий Г. Р., Кринский В. И.. Сельков Е. ?., Математическая биофизика клетки, М,, Наука, ]977. — При», ред.
210
Глава 8
вольной фазой. Аналитического объяснения этого удивительного явления до сих пор нет, хотя при помощи численных расчетов удалось воспроизвести эту фазовую особенность, впервые постулированную Винфри [413, 418] при изучении биологических ритмов.
8.8. ГЕТЕРОГЕННЫЙ КАТАЛИЗ
И ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ ПЕРЕХОДЫ
Во многих случаях, интересных с точки зрения физической химии и биологии, неравновесные реакции локализованы в некоторых областях среды, которая сама участвует в химических реакциях и процессах переноса. Обозначим через Д- коэффициенты диффузии, Fi — скорости объемных реакций и Gja> — скорости реакций, локализованных в центрах {га}, которые, например, могут находиться на поверхности катализатора. Уравнения баланса массы принимают следующий вид [296];
а
(/=!.-¦-. «}¦
Пусть стационарное состояние химической системы в объеме задается концентрациями |р* (r)j, удовлетворяющими граничным условиям
Если помимо активных центров среда не имеет существенных нелинейностей, то это состояние будет асимптотически устойчивым. Чтобы изучить влияние гетерогенного катализа, линеаризуем уравнения вблизи этого состояния. Обозначим через L матрицу коэффициентов в объеме среды:
В первом приближении имеем где
4г - I V; + + ? Gf ({р-}) 6 (г - г«). (8.54,
/ и
Эту систему уравнений необходимо дополнить следующими условиями, вытекающими из физических соображений. Во-первых, если в пределе |г — га \ -»-оо величина р* не зависит от координат, то необходимо, чтобы в этом же пределе величина Iii также
Диссипативные структуры и явления самоорганизации
211
переставала изменяться в пространстве. Во-вторых, интегрируя уравнение (8.54) по бесконечно малой области вблизи каждого центра г", с учетом ограниченности концентрации находим
(8.55)
Это соотношение выражает непрерывность потока вблизи актив-пых точек.
Уравнение (8.54) эквивалентно системе неоднородных дифференциальных уравнений с коэффициентами 1ц, которые в общем случае зависят от пространственных координат. Эту систему можно преобразовать к интегральному виду, вводя матричный пропагатор Г (/*,/*',() (функция Грина), который удовлетворяет соотношениям
Г (г, г', / = 0) = /б(г-г'),
где / — единичная матрица и О — матрица диффузионных коэффициентов. Выражение для /г, через матрицу Г имеет вид
в / о
(8.56)
Можно изучить стационарные колебательные решения уравнения (8.56), которые в общем случае дожны быть множественными, как и в случае изученных в предыдущих разделах дисси-пативных структур в объеме среды. Рассмотрим более подробно эту систему при наличии однородного состояния нулевого порядка р* (г) = Р/. Уравнение (8-54) при этом обращается непосредственно путем введения собственных векторов ит оператора I _{_ Стационарные решения в однородной среде при наличии единственного каталитического центра (га = 0) выражаются следующим образом:
„ =Х со;)и ехр(-
т
где
+ к2тО 1 = 0,.
; 0~{1ит = — к11а1П. (8.57)
Коэффициенты разложения с^> и спектр значений кт находятся Путем решения линейных алгебраических уравнений, полученных при подстановке (8.57) в (8.54) и (8.55). Предполагая, что Решение задачи на собственные значения (8.57) существует,
