Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Николис Г. -> "Самоорганизация в неравновесных системах" -> 65

Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.

Николис Г., Пригожий И. Самоорганизация в неравновесных системах. Под редакцией доктора хим. наук Ю. А. Чизмаджева — М.: Мир, 1979. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): nikolis-prigogine.djvu
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 171 >> Следующая

Далее можно показать, что существует две группы качественно различных решений. Одна из них образована решениями с теми же свойствами, что и одномерные периодические решения (см. разд. 7.13). Этот случай иллюстрируется на рис. 8.13. Во вторую группу входят вращательные решения, возникающие в том случае, когда параметр бифуркации В окажется достаточно большим по сравнению с критическим значением. На рис. 8.14 показаны конфигурации изоконцентрационных кривых в течение одного периода для одного из двух вращательных решений. Преобладание того или иного решения зависит от начальных условий. Кроме того, можно показать, что в центре концентрации определены однозначно и, по-видимому, це испытывают колебаний. Таким образом, фронт реакции не имеет истинно спиральной формы, что согласуется с общими теоретическими предсказаниями, основанными на выражении (8.43),
8.6. СИСТЕМЫ. СОДЕРЖАЩИЕ
БОЛЕЕ ДВУХ ХИМИЧЕСКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
В системах с тремя и более промежуточными химическими продуктами появляются новые возможности самоорганизации. Во-первых, из теоремы Хануссе — Тисона — Лайта для таких систем уже не следует обязательное наличие тримолекулярной
Диссипативные структуры и явления самоорганизации
20S
стадии. Во-вторых, в результате первой бифуркации термодинамической ветви могут возникать устойчивые пространственно-временные распределения даже в отсутствие потоков на границах. Однако анализ таких систем значительно сложнее, что выявляется уже па уровне линейного анализа устойчивости. В этой связи полезными могут быть графические и топологические методы [64].
В случае трех промежуточных продуктов трудности при вычислениях оказываются преодолимыми [153]. Характеристическое уравнение при этом имеет вид
<оЛ — Та* + fleo — Д = 0, (8.45)
где 7* и Д интерпретируются так же, как и в уравнении (6.21), причем б является суммой главных миноров второго ранга матрицы коэффициентов линеаризованных уравнений. В зависимости от знаков этих трех параметров особые точки могут быть седловыми точками, устойчивыми или неустойчивыми узлами, а также устойчивыми или неустойчивыми фокусами. Последний случай наиболее благоприятен для возникновения предельных циклов. Рассматривая переходы с потерей симметрии, приводящие к стационарным состояниям, Хануссе [153] показал, что в системе с тремя промежуточными продуктами, принимающими участие в моно- и бимолекулярных стадиях, для возникновения переходов с потерей симметрии необходимо, чтобы по крайней мере один из двух главных миноров второго ранга был отрицательным. Другой интересный результат в случае моно- и бимолекулярных реакций состоит в том, что диагональные элементы матрицы коэффициентов линеаризованных уравнений могут быть лишь отрицательными числами или нулями.
Различные формы самоорганизации были продемонстрированы при помощи численных расчетов па следующей модели [153];
А + Х к, 2Х,
X + Y к, г 2Y,
Y + Z *-j 22,
Х + 2 к. X + В,
Теперь рассмотрим более внимательно природу решения, возникающего в результате цервой бифуркации в системе с тремя
20S
Глава 8
переменными в отсутствие потоков на границах или при периодических граничных условиях [12]. Как и в случае двух переменных, бифуркация стационарного решения происходит при пересечении параметром бифуркации к критического значения кс, определяемого равенством
Д (\) = 0. (8.47)
Если — к\ является собственным значением оператора Лапласа, то уравнение (8.47) будет кубическим уравнением относительно к\. В общем случае отсюда следует нетривиальная пространственная зависимость, соответствующая к\ф0 (см. разд. 7.4).
Рассмотрим первое «ветвящееся» решение, периодическое во времени. При к=кс характеристическое уравнение имеет следующие корни:
©I o = ±/y (v действительно),
' п (8.48)
щ < 0. 1 '
Подставляя о)[.2 и ы3 в уравнение (8.45) и выделяя действительную и мнимую части, находим
T(kCl fei) = «>3<0,
t>(lc, feO = y2 >0, (8.49)
A(L, feO = Vta < 0-
Кроме того,
T(le, kfibiic, = kf). (8.50)
Важно, что это уравнение является кубическим относительно $, поэтому при к с соответствующее значение к\ не обязательно должно быть наименьшим собственным значением лапласиана (т. е. нулем в отсутствие потоков на границах или при периодических граничных условиях); оно может соответствовать одному из других собственных значений. Это обстоятельство отражается на пространственной зависимости решения, симметрия которого может быть ниже, чем Для рассматриваемой пространственной области. В частности, в результате первой бифуркации может возникнуть вращательное решение, устойчивое автоматически, поскольку бифуркация является первой по Счету.
Вычисленное при помощи уравнения (8.50) значение кс можно сравнить с критическим значением к^, соответствующим возникновению колебании в отсутствие диффузии
Т(к°с, 0)б(\°, 0) = А(к1 0). (8.51)
Диссипативные структуры и явления самоорганизации
207
Поскольку ни б, пи Д не являются монотонными функциями из этого уравнения можно получить и'значения А*, большие Ае. Таким образом, в системе, которая не является колебательной при наличии однородных условий, учет диффузии приводит к возникновению периодических во времени (и изменяющихся в пространстве) решений.
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 171 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed