Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Николис Г. -> "Самоорганизация в неравновесных системах" -> 64

Самоорганизация в неравновесных системах - Николис Г.

Николис Г., Пригожий И. Самоорганизация в неравновесных системах. Под редакцией доктора хим. наук Ю. А. Чизмаджева — М.: Мир, 1979. — 512 c.
Скачать (прямая ссылка): nikolis-prigogine.djvu
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 171 >> Следующая

Мы будем рассматривать системы с двумя химическими переменными, а более конкретно — тримолекулярную модель. Пусть реакционное пространство имеет форму круга радиуса В соответствии с разд. 7.4 и 7.12 в отсутствие потоков на границах первая бифуркация обязательно приводит к (однородному) предельному циклу. Таким образом, любое изменяющееся в пространстве решение возникает либо в результате повторной бифуркации на термодинамической ветви, либо в виде вторичной бифуркации предельного цикла. Как в том, так и в другом случаях определить устойчивости возникающих решений очень трудно. И в самом деле, как известно из анализа одномерных систем, в надкритической области возможны множественные решения кинетических уравнений, что подтверждается также результатами численных расчетов, рассмотренных в гл. 7. При этом следует иметь в виду, что до сих пор не получено строгое доказательство устойчивости этих решений.
Независимо от рассмотрения устойчивости, пространственно-временные решения могут быть построены при помощи теории бифуркаций или какими-либо другими методами. Проиллюстрируем это на примере вращающихся волн. Обозначим полярные координаты через гиб. Далее возможны два варианта. В первом из них можно искать решения специального вида Х(г, 6. (), периодические по единственной переменной б (относящиеся К
т
Глава 8
реакции Белоусова — Жаботинского расчеты см. в работе J368]), для которых
Х = ХЫ-$(г)±В), (8.42)
если г достаточно велико. Можно показать, что такие решения оказываются неопределенными при г < г0, где г0 — некоторый критический размер. Если же эти решения определены, то соотношение ф(г) ± 6 — const является уравнением эвольвенты окружности, которую экспериментально наблюдал Винфри [4!4|. Этот автор получил качественно аналогичные результаты методом численного моделирования системы со «скачкообразной» кинетикой 1416].
Второй вариант связан с поиском бифуркаций периодических во времени решений без постулирования какой-либо конкретной зависимости от г или от 0 [12, 431]. Такой подход является более общим по сравнению с изложенным в предыдущем случае, поскольку в ограниченной системе любое устойчивое волнообразное решение с необходимостью периодично во времени (или по крайней мере почти периодично). Используя изложенный в разд. 7.12 метод, можно показать, что первое неоднородное решение, возникающее в результате бифуркации термодинамической ветви, описывается соотношением
X(rtQti) =
~(В ~ Bc)!l [г! cos (ф, + QO cos 8 + п cos (ф2 + Qt) sin 8] /, (e,r) -f
¦f (В - Bc) Z {am + am cos (2QJ -f- ifc,)) f0 {kamr) -f m =\
CU
+ (B- Bc) Z {[««a + am2 eos (2Qi + ifc^)] eos 26 + m-i
+ fos + С ™* (2n< + O] sin 26) X h (k^r). (8.43)
Аналогичное выражение имеет место для У. Входящие в эти соотношения коэффициенты зависят от параметров системы и условий нормировки. Константы k?, k<?m и k^m связаны с нулями производных функций Бесселя следующим образом;
A (komR) «= О,
ki = min (ki : ki > 0), где /,(k?R) = О,
4(Ы)=0, (8.44)
Выражение (8.43) имеет несколько интересных свойств. Наиболее примечательное свойство заключается в том, что это выражение однозначно определено в центре круга. Таким образом,
Диссимтивкые структуры и явления самоорганизации
?99
Рис. 8.13. Линии равных концентраций .V дли тримолекулярной модели, занимающей круг радиуса Р = 0,5361 в отсутствие потоков на границах.
Сплошными н пунктирными лилиями показаны соответственно концентряцнн бО.[|,Ше л меньше значения и (неустойчивом) стационарном ..-остоянин, Хй=2- Значении параметров! Л=2, 0!—+ ¦ Ю-3, В^'гЛ Рксунлн а — d соответствуют раз.щчнмы стадиям
зволюинк периодического решения
Рис, 8.13. Продолжения.
Є
Глава 8
о'
Рис. 8.14. Вращающееся решение для трим о леку лирной модели, возникающее при тех же условиях, что и на рис. 8.13, но при большем надкритическом значении параметра бифуркации, В = 5,8.
204
Глава 8
соответствующий концентрационный фронт хотя и является вращающимся, никогда не может стать истинной спиралью. Кроме того, сама скорость вращения непостоянна, поскольку она зависит от координаты.
Результаты численного моделирования периодических во времени решений в круговой области дают интересные наметки дальнейших теоретических исследований [101]. Одним из наиболее интересных в этом плане аспектов является множественность устойчивых решений. Рассмотрим в качестве примера тримолекулярную модель. В точке первой бифуркации В<, = А2-\- І ситуация сравнительно проста. Здесь возникает однородное решение типа предельного цикла, остающееся устойчивым при значениях В, значительно превышающих Вп. После точки второй бифуркации В; ситуация резко изменяется (см. разд. 7.4), Здесь возникает четыре периодических во времени и изменяющихся в пространстве решения, существующие в течение большого числа периодов и, кроме того, быстро восстанавливающиеся после наложения слабых возмущений. С точки зрения теории бифуркаций это должно означать, что: а) фигурирующие в (8.43) параметры г{. г2. ... многозначны и б) хотя возникающие при Б\ ветви неустойчивы для значений В, близких к В;, по мере дальнейшего роста В они стабилизируются (например, путем вторичных бифуркаций).
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 171 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed