Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Wz+Wy IVl2
Подчеркнем, что скорости на острых кромках, где происходит сход с пластинки свободных линий тока, равны единице, а не бесконечности, как это имело место при безотрывном обтеканин.
Полученное решение определяет разрывное обтекание пластинки шириной 4 +t набегающим на нее нормальным потоком, имеющим скорость на
OJ
бесконечности, равную единице (рис. 82 я). Легко найти полную силу давлений жидкости на пластинку. Co стороны набегающей жидкости на участке пластинки AB действует давление р, которое по теореме Бернуллн равно (примем р = 1):
t PlVP .1 |FP р = const--2— = -Pco 4" "2--г?»
со стороны „мертвой зоны" давление равно р0, причем
1 I Fl2
'|F|
Разность давлений, действующих на элемент dx с обеих сторон пластинки, будет, согласно (72),
Po
!) ¦ 'IFI=I
P-Pco =
1__I У|«_ 1
1
= 1 — 1 2 2
Элемент длины пластинки dx по (72) равен
(^V'j
^ дх -йх =-dtp :
d<t
Уч * ? 266 плоское безвихревое движение жидкости [гл. v
так чїо элементарная результирующая сила давлений будет:
dy ¦¦
wt ' ? /J
Vv У 9
(Р -Pjdx = і ~ -/1-1)]
У? 'tP
Отсюда, в силу симметрии обтекания относительно оси Oy, найдем полную силу давления в виде
і
r=2 J V^-Jid* = *
о
Представим силу сопротивления в плоском движении в общей форме:
о г pV™ и 1 JR = C"-^—b'l,
где С — коэффициент сопротивления, р — плотность жидкости, Voo — величина скорости на бесконечности, b — характерный размер обтекаемого тела в плоскости течения (ширина пластинки в рассматриваемом сейчас случае); единица, стоящая в конце формулы сопротивления, напоминает, что сила сопротивления рассчитывается на единицу длины в направлении, перпендикулярном к плоскости течения. Сравнивая между собою последние две формулы, получим уравнение для определения С:
Ц = ж = С- ї^і • (4 + я),
откуда найдем:
так что в общем случае обтекания пластинки ширины b жидкостью с плотностью р при скорости набегающего потока Voo будем иметь формулу сопротивления
* = Т=^- = WO-
Заметим, что полученная теоретическая формула дает значение сопротивления, в два раза меньшее действительного, хотя распределение давления по передней части пластинки близко к опытному. Объяснение этого факта лежит в неучете вихревых явлений в „мертвой зоне" (рис. 82 в), уменьшающих среднее давление на тыльную часть пластиики и тем самым увеличивающих сопротивление.
Если сравнить только что разобранное разрывное обтекание пластинки с непрерывным (55), имеющим комплексный потенциал
X(г) =Iv00
то можно заключить, что симметричное относительно обеих осей координат непрерывное обтекание с бесконечными скоростями на острых краях пла-СТВНКИ (рис. 82 б) должно давать сопротивление, равное нулю, и распределение § 411
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ С ОТРЫВОМ СТРУЙ 267
давлений, резко отличающееся от экспериментального. Простое сравнение кастин обтекания (рис. 82 л и б) со -схемой действительного обтекания (шс. 82 в) показывает, что применение теории разрывного потенциала дает более правильную форму течения, чем теория непрерывного потенциала.
Следует подчеркнуть, что разрывные картины обтекания с кинематической стороны ближе подходят к опыту, чем с динамической. Общий вид линий тока и распределение скоростей вне „мертвой зоны" обычно получаются весьма схожими с реальным обтеканием, силовые же характеристики, зависящие от структуры потока в мертвой зоне и наличия сил трения, получаются, как правило, резко заниженными. Подтвердим это заключение еще одним характерным примером.
Рассмотрим функцию
F (х) = е~' = = (cos ф — і sin ф),
сохраняющую действительное значение при ф = О и ф = г. и имеющую чисто мнимое значение при Ф — у.
Составляя вновь оснобное дифференциальное уравнение (68)
Щ = §? sae^ (cos * ~isin « + V~e~2<e (cos 2ф—і sin 2ф), будем иметь для линии тока ф=-ї-:
ЭТО — ЛИНИЯ X = const, которую выбором положения осей координат можно принять за ось Oy (х — 0). Вдоль этой линии скорость не остается постоянной. при </ =—сю скорость равна нулю, при <f — + со — единице; следовательно, линия тока Ф = -|-—не „свободная*.
Линии тока ф = 0 соответствует дифференциальное уравнение
Щ+t g—-» + VF5^=I (73)
Если <f =S 0, то подкоренное выражение не отрицательно и уравнение (73) приводится к системе двух уравнений:
Ц ^ с-*+ Ve-'*-1,
ду
Интегрируя, найдем:
df
x = — a—e-f — Ve~2? — 1 - arc tg У — 1, У = const = 0,
выб Я неопРеЯелсншя константа интегрирования, а линия тока у = const орана за ось х. Определим, какая часть Ox совпадает с рассматриваемым участком линии тока ф = 0. Для этого заметим, что:
при 9 = — со, х = — оо; UpHtf = O, * = —- ?-!-1, 268
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [гл. V
Это означает, что отрезок линии тока ф = О, соответствующий <р s о представляется отрицательной стороной В'В оси Ojc (рис. 83 в), причем пока можно только утверждать, что —(e + l)<0, так как в противном случае
TZ
линия тока <1) =O пересеклась бы с линией тока ф = .
При ч> is 0 уравнение (73) дает систему дифференциальных уравнений свободной струи:
