Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Идея этой схемы, предложенной впервые Гельмгольцем в классической монографии „О разрывных течениях жидкости", относящейся к 1868 г., заключается. в~допущении, что сорвавшиеся с острых кромок линии тока —
так называемые свободные линии тока — уходят на бесконечность, ограничивая за телом бесконечную мертвую зону покоящейся жидкости. Если отвлечься от влияния объемных сил, то давление внутри „мертвой зоны" будет повсюду одинаковым. Как легко сообразить, оно будет одинаковым и на границах зоны, на „свободных" линиях тока. Отсюда, по теореме Бернулли, примененной к свободным линиям тока со стороны движущейся жидкости, следует, что вдоль свободных линий тока скорость сохраняет постоянную величину. Нулевая линия тока (рис. 81) приходит в критическую точку О, где разветвляется на две линии тока, расположенные на поверхности обтекаемого тела. В точках А и В, соответствующих острым кромкам, линии тока (ф = 0) сходят с тела и образуют две свободные линии тока AK' и BK", вдоль которых давление равно давлению в „мертвой зоне", а скорости постоянны. В этом отличие свободной линии тока от твердой стенки, которая также может рассматриваться как линия тока, но с переменными, K9S правило, давлением и скоростью,
Рис. 81. § 411 ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ С ОТРЫВОМ СТРУЙ
263
Гельмгольц указал на простой класс примеров построения таких отрывных обтеканий со „свободными" линиями тока и „мертвыми зонами".
Рассмотрим следующую дифференциальную связь между комплексной координатой z и комплексным потенциалом у:
g| = /4x)±V/*(X)-l. (67)
где F (у) — пока произвольная функция комплексного потенциала х- Пользуясь независимостью производной от направлення дифференцирования, можем написать дифференциальное уравнение линий тока (ф = const) в виде:
(68)
По предыдущему [равенство (39) § 37]:
dz _дх і^У _ 1 dy. d<t dtp V
откуда
На свободной линии тока, где скорость постоянна, должно выполняться условие
(rW—• <и>
Предположим теперь, что функция F (х) при некоторых значениях d>=const, иными словами на некоторых линиях тока, принимает только действительные значения. Тогда в области значений % при которых Z72(^p) >1. правая часть равенства (68) будет иметь действительное значение, так что уравнение (68) приведется к системе:
^ = /^)^//^)-1, 1 7 } (70)
^l = O I
*> J
Из второго уравнения этой системы следует, что рассматриваемый участок линии тока состоит из отрезков, параллельных оси Ox {у = const).
Часть линий тока, представленная системой равенств (70), не удовлетворяет условию (69), следовательно, эти отрезки линий тока не являются „свободными".
Возьмем теперь ту часть линий тока, на которой Я(ір)<1. По (68) будем иметь:
(71)
Эта часть линий тока удовлетворяет условию (69) и, следовательно, является свободной линией тока.
Различные функции F(x), удовлетворяющие только что указанным условиям, будут давать примеры отрывных обтеканий. Среди них можно выделить некоторые, представляющие практический интерес. Конечно, такой метод решения задач нельзя назвать ,прямым", так как ои не дает возможности 264 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ [гл. у
непосредственного получения обтекания наперед заданных контуров. Прямой метод требует применения метода конформных преобразований.1 Положим, например,
'""TT
Эта функция действительна только при ф = О и 9 > 0; кроме того* (tf) ^ 1 при Oggtpgil И F2 (9) Si 1 при tpigl. При (()¦< 0 функция F(y) принимает чисто мннмые значения. Имеем по (68) при ф = 0 и ср 0:
дх _ п дУ___1 у/~_ 1
:0, ^=--=--1/ -І-+1, o<f o<f V-tP — tp
что дает х = const, или, в силу произвольности выбора начала отсчета, х = 0, это — положительная часть оси Oy, в чем легко убедиться, проинтегрировав второе уравнение прн —со<9<0.
Далее, на той же линии тока прн 0 < 9 =S 1, согласно (68), будем иметь:
ilUo. (72)
Otf У ср ' ср dtp
Из этой системы равенств следует:
х = 2 + arc sin (/9)+/9 V"l — <f, У = 0, (72')
где константы интегрирования выбраны так, чтобы в начале координат было: х = 0, у — 0, 9 = 0.
Равенство (72') показывает, что участок линии тока 0 < 9 g= 1, ф = 0 представляет отрезок AB (рнс. 82а) оси Ox между точками AnBc абсциссами, соответствующими двум значениям корня Y^t ПРИ 9=1:
: (2 + arc sin = +
Наконец, в области значений 9 g: 1 будем иметь дифференциальные уравнения свободных линий тока AK' и BK":
дх__1_ ду _ /"j__1_
df W' dtp ' 9
которые интегрируются в конечном виде и дают
л: = 2 УІ"
У= Jj/ 1--Ld4 = - arch /9+ y^y^ZTY.
Уравнение свободной линии тока будет
и х , х _ "
V= — arch-^-4--^ |/ _ — 1.
1 По этому поводу см., например, Н. Е. К о ч и и, И. А. К и б е л ь и Н. В. Розе, Теоретическая гидромеханика, ч. I. Гостехиздат, 1948, стр. 312—345, а также монографию Л. И. Седова „Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики". Гостехнздат, 1950, стр. 200—230, где приводятся H схемы отрывного обтекания, отличные от изложенных, § 411
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ С ОТРЫВОМ СТРУЙ
265
При ер + оо, так же как и при <f -» — оэ, имеем
