Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
1 * Vg = 40 У» X Ve = 15% УОА
V I I CA -
I I
0 0,2 DlIt D1B O1B І0
—~ 1Ie
Рис. 67. ? 39] ОБТЬКАНИЕ КРУГЛОГО ЦИЛИНДРА 245
,еорегического течения вторичных потоков, сопровождающих в действительности циркуляционное течение.
Комплексный потенциал циркуляционного обтекания цилиндра напишем в виде
х(г)=Уаз(г + ?) + ?\м, (48)
что при I1 >0 соответствует направлению циркуляционного движения по часовой стрелке.
Определим сопряженную скорость
^=SH Ч1 -?Н-Я5? (49)
и найдем положение критических точек, решая уравнение или, что то же, квадратное уравнение Корни его будут:
Ti _ Г~~0 W
Z -
4я1/ r Wr-" Vf,
В зависимости от величины циркуляции возможны три типа обтекания:
1°. Циркуляция достаточно велика, а именно
r>4itaVoo.
В этом случае под знаком радикала будет стоять отрицательная величина, и можно написать
V —T-T-1«"V
* Ifi-aI/2 /
V 4r. Vaj V 16ral/i
Оба корня квадратного уравнения мнимы, причем модуль одного больше радиуса цилиндра, другого — меньше; действительно, корень
ЧпК Г Ібг'К
имеет модуль
, у —---а2 > —!-— > а;
4*Vm 1 У 16 T-iVl, 4r. V, 246 , ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖЙДКОСТИ , [гл.
второй корень
Z1
2"
имеет модуль
г _ / Г3
4,У IGKiVit Г , ,А Г2
У IfttiI
AkVco У IforiI^
меньший чем выражение, которое получим справа, если заменим в знаменателе Г/ 4~ на меньшую величину а, т. е.
і і а2
Первый корень Zi дает критическую точку А (рис. 68а), лежащую на отрицательной стороне мнимой оси вне цилиндра, второй — критическую точку В, лежащую на той же оси внутри цилиндра. 2\ Предельный случай
I1 = 4iraVco
дает двойной корень
_ _ Г Zi Z2 4 — я;
' у со
в этом случае обе критические точки AuB попадают в одну, расположенную на контуре цилиндра в точке пересечения контура с мнимой осью (рис. 68б).
Зэ. Наконец, в случае малой циркуляции
Г < 4тя V00
комплексные корни
У Ifin2I
Z = ZHV а°--r—---E— і
m'vl 4*1/
имеют общую ординату — мнимую часть:
Г
^co
и отличающиеся знаками абсциссы:
>
Г8
также по модулю меньшие а.
Положение критических точек A Yi В показано на рис. 68е. При дальнейшем уменьшении циркуляции Г точки А и В будут раздвигаться, стремясь занять свои предельные положения на диаметре круга при Г = 0. обтекание круілого цилиндра
247
Неравенства
Г14-а К
ограничивающие величину циркуляции для трех типов движения, имеют простой физический смысл. Вспомним, что в точках пересечения ми-делевой плоскости с мнимой
осью скорости в бесциркуля- у л
ционном течении равны удвоенной скорости на бесконечно-ста, Т. е. 2 V00; с другой стороны, при чисто циркуляционном обтекании скорости
точек на контуре цилиндра р
равны -^i. Следовательно, при
выбранном направлении циркуляционного движения по часовой стрелке при
2т
>2Va
частицы жидкости на поверхности цилиндра и в некоторой области ниже цилиндра (рис. 68а) будут двигаться вспять, а линии тока будут замкнутыми кривыми вокруг цилиндра. При (рис. 6Нб и в)
критические точки будут находиться на контуре цилиндра.
Как видно из рис. 68, при циркуляционном обтекании круглого цилиндра сохраняется симметрия относительно оси Qy, но нарушается симметрия относительно оси Ох. В связи с этим главный вектор сил давления жидкости на поверхность цилиндра будет отличен от нуля и направлен вдоль оси Oy. Заметим, что в слоях бесциркуляционного обтекания потока вокруг цилиндра
Рис.
жидкости над цилиндром скорости цилиндра и чисто циркуляционного складываются, а снизу от цилиндра —
248
, плоское безвихревое движение жЙдкости ,
[гл.
вычитаются. Отсюда следует, что над цилиндром скорости больше чем снизу; это видно и по плотности линий тока — над цилиндром линии тока сгущаются, под цилиндром, наоборот, разрежаются. При этом, согласно теореме Бернулли, давление на верхней половине цилиндра меньше, на нижней — больше, следовательно, главный вектор сил давления должен быть направлен по оси Oy вверх. Найдем величину этой, перпендикулярной к направлению движения силы R. Имеем
R
= — ^ рп ds, Rx= — ^p cos е ds, Ry = — (j> р sin є ds,
где контурный интеграл вычисляется по положительному обходу окружности. По теореме Бернулли
р-с-ир.
На контуре круга, согласно (49):
V= V00 (1 - ^-«-) ie-* = fe-* (2 V00 sin s + І),
откуда
Замечая, что интеграл по замкнутому контуру от постоянной составляющей давления с, как архимедова сила в однородном поле давлений, равен нулю, получим:
2ic Eic
Rx = Pi J I VT cos в fife = f J (2IZ00 Sin в + 2L—J COS е ds,
о
Зтс
Ry = % J (2 Voo sin в + ^f sin г de. о
Интегралы легко вычисляются; имеем:
2л
р а
• 4Vl \ sin2scosefife+^- 4 V00J sinecosede-J-
о
а*
+ Т'іЙ" J cose^
Ry = Р|. 4 Vl J sins e de + Щ. 4 V00 ¦ J sin* s de +
о
2ic
2в
. рв Г* обтекание эллипса, пластинки и др.
249
Из всех интегралов отличен от нуля лишь второй в выражении Ry,
R.-0.
Sic
Ry = J sin2 s ds = р^озГ. (50)
