Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Изопотенциальные линии имеют уравнением
rn COS IlB = С'
или, что все равно,
г'1 Sin ( не
С'.
г-
I I /?- I Z -Tt
I
I J
I
11 0 \
I
[
I
I I
-f=0
п=2, cc = j
Это уравнение — того же семейства кри-вых, что и линии тока,
но повернутого на угол ~ = ~
на том же рис. 58 пунктиром. При п при п =s 2 — гиперболы,
Рис. 58.
Изопотенциальные линии показаны 1 оОа семейства—прямые, 232
, ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖЙДКОСТИ ,
[гл.
Ббльший интерес для дальнейшего представляет случай п-Уравнение линий тока будет
С.
Sin є
Это, как легко сообразить, семейство окружностей, проходящих через начало координат (рис. 59) и соприкасающихся в этой точке
с осью Ох. Физический смысл константы а в выражении комплексного потенциала
а
X = -J
и более глубокое представление о самом движении будет дано в следующем пункте. Скорость течения обращается в бесконечность в начале координат и в нуль при г -»• оо. Изопотенциальные линии, по предыдущему, представятся той же сеткой окружностей (на рис. 59 показанных пунктиром), но повернутой по предыдущему на ^ . Оба
семейства окружностей взаимно ортогональны.
еще случай я = с характеристической функцией
X = Vz и углом а = 2т:. Чтобы найти линии тока, в этом случае лучше всего поступить так. Перепишем уравнение, определяющее характеристическую функцию, в виде
г = х + Iy = X2 — tP2— ^2 + 2йрф;
тогда, сравнивая действительные и мнимые части и полагая в полученных при эшм равенствах ^ = с, найдем уравнение семейства линий тока в параметрическом виде
Рис. 59.
О гметим
ї '3і —
:2т.
с2,
X :
У = Рис. 60.
Исключая параметр <р, получим семейство парабол
X •¦
JLy
4с2 у
с вершинами на отрицательной части оси а:, являющейся для парабол осью симметрии (рис. 60), ^ .^8j ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ПОЛЕЙ ТЕЧЕНИЯ
233
По общему свойству степенных комплексных потенциалов И30П0ТЄН' циальные линии получатся поворотом линий тока на
к
или что в данном случае все равно, зеркальным отображением в оси Oy. Рассматривая положительную часть оси Ox как некоторую твердую стенку, получим картину перетекания жидкости из верхней части полуплоскости в нижнюю при наличии огибания стенки Ох. Заметим, чго скорость течения в точке Z = О равна бесконечности:
І7І =I I =оо;
1»=о аг Is=O 2 у г Ia=O
вблизи этой точки наблюдается резкое сгущение линий тока. 3°. Логарифмическая функция у =Alnz.
Предположим сначала, что А—действительная величина. Полагая z = re{t, получим
у = о -{_ fy =Z= А In г -J- іAe,
откуда:
о — А In г, ф = As.
Линиями тока служат лучи е — const, выходящие из начала координат; изопотенциальными линиями — ортогональные к ним окружности /¦ = const (рис. 61а). Картина линий тока соответствует плоскому
У У
Рис. 61.
истечению жидкости из точечного источника, находящегося в начале координат (на самом же деле — из источников, непрерывно распределенных по оси Oz). Чтобы найти гидродинамическое значение коэффициента А, введем в рассмотрение мощность или интенсивность источника q, определив эту величину как секундный объемный 234
, плоское безвихревое движение жЙдкости ,
[гл.
расход жидкости, отнесенный, конечно, к единице длины в перпендикулярном к плоскости течения направлении. Имеем:
q = 2nr\ V\ = 2жг
d,
dz
2тс гА
2 TtrA
2 т.А,
откуда следует
A =
2и
Условимся наряду с источником рассматривать сток, отличающийся лишь направлением стрелок на линиях тока (рис. 61 б). Тогда в общем случае будем иметь характеристическую функцию для расположенного
в начале координат источника или стока мощности q в виде
Х(Ф
2к
In г,
(41)
Рис. 62.
причем верхний знак относится к источнику, нижний — к стоку, при желании знак можно включать
_ в определение величины q, считая q
положительным в случае источника и отрицательным — в случае стока.
Пусть теперь А — чисто мнимая величина, равная Bi, где В—уже действительная величина. Комплексному потенциалу
X = Siln*,
как уже ранее было указано, будет соответствовать та же сетка кривых линий, что и в случае источника (стока), но линии тока и изопотенциальные линии поменяются местами (рис. 62). Картина линий тока соответствует так называемому циркуляционному движению жидкости вокруг изолированного точечного вихря, расположенного в начале координат, или, правильнее сказать, вокруг вихревой нити, совпадающей с осью Oz.
Чтобы найти смысл действительной постоянной В, вычислим циркуляцию Г скорости по некоторой окружности радиуса г.
Будем иметь:
2 л: ал
V\ds = J\^-\rde= [ B-y-rde = 27zB,
рчкуда вытекает
В
построение просп.і1ших полей геч1лшя
235
В зависимости от направления движения частиц будем иметь:
К . rI
причем верхний знак, как легко сообразить, будет соогвеїсгиовагь вращению по часовой стрелке, нижний — обратному вращению. Можно шак включигь в определение величины Г и считать циркуляцию положительной тогда, когда при обходе частицей жидкости окружности площадь круга остается слева; этому соответствует комплексный потенциал циркуляционного потока
