Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
'•? (¦*> у> z\ t) = const,
причем время t рассматривается как параметр в случае нестационарного движения и отсутствует—при стационарном движении. Из опре-Рис. 51. деления потенциала скоростей (4)
следует, что линии, нормальные к изопотенциальным поверхностям скоростного поля, являются линиями тока и, обратно, при выполнении условия (4) линиям тока соответствуют нормальные поверхности—изопотенциальные поверхности.
Имея заданным потенциальное скоростное поле, легко найти его потенциал, проинтегрировав уравнения в полных дифференциалах (4) или (5).
В самом деле, рассмотрим в данный момент времени в односвяз-ной области1 течения кривую линию С (рис. 51), выходящую из точки m0 и оканчивающуюся в некоторой точке м. Умножив скалярно
1 О влиянии „связности" области будет сказано в конце настоящего параграфа. сохранение циркуляции. потенциал скоростей 215
обе части равенства (4) на ориентированный элемент дуги 8г кривой С и проинтегрировав по этой кривой от точки m0 до Af, будем иметь ж м м
j" у • 8r = J grad ср • Sr = J 8<р = <? (Af) — Cp(Af0), (6)
Jtr1 Ж„ M0
(С) (С) (С)
откуда сразу следует выражение для потенциала в любой точке Af через потенциал в некоторой начальной точке m0 и заданные значения вектора скорости V или его проекций и, v:
Ж ж
<р(М) = <?(М0) + f V-Sr = Cp(M0)+ [ (uZx+vly). (7)
M0 it,
(О) (С)
Если течение во всей области безвихревое, то, замкнув (на рисунке пунктиром) кривую С при помощи кривой С так, чтобы точка M совпала с m0, получим, согласно (7):
сP(M) = O(M0), (8)
ж->ж0
так как циркуляция скорости по замкнутому контуру (с-1- с'), равная сумме интенсивностей опоясанных контуром вихревых трубок, в рассматриваемом скоростном поле, где нет вихрей, обращается в нуль. Отсюда вытекают два важные следствия:
1°. Если в области течения нет вихрей (даже отдельных, изолированных вихревых нитей), то, согласно (8), потенциал скоростей представляет однозначную функцию координат;
2°. Интеграл в выражении (7) не зависит от формы кривой интегрирования с, так как в силу равенства нулю интеграла по замкнутому контуру, состоящему (рис. 51) из участка m0cm, представленного на рисунке сплошной кривой, и mc'm0, нанесенного пунктиром, следует:
ж M0 м ж
("+J=O или f = f •
Ж, Ж M0 M0
(С) (С) (С) (С)
Иное получится, если в безвихревом движении имеется изолированная вихревая трубка (рис. 51). Производя в этом случае интегрирование по контуру С, вновь получим равенство (8); но другой результат будет иметь место, если вместо контура С взять контур c1, охватывающий вихревую трубку. Интеграл, стоящий в правой части равенства (7), вычисленный по замкнутому контуру (c1 + c1) (замыкание показгло на рисунке пунктиром), как это следует из теоремы Стокса (§ 13), будет равен интенсивности вихревой трубки
V - ОГ :
(C1-I-C1) 216
, ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖЙДКОСТИ ,
[гл.
и, согласно (7), потенциал в точке M0 после обхода вихревой трубки окажется равным
С? (/M0) + Г.
Выйдя из точки ^M0 и взяв за контур интегрирования петлеобразную кривую (не показанную на рисунке), несколько раз опоясывающую вихревую трубку, вернемся в точку M0 со значением потенциала, отличающимся от первоначального на величину, кратную интенсивности Г:
<?{M0) + k- Г.
Таким образом, если в области безвихревого движения жидкости имеется отдельная вихревая трубка, то потенциал скоростей, выраженный через скорости по формуле (7), определяется, как многозначная функция точек поля. Значение потенциала скоростей в точке M будет зависеть от формы кривой, вдоль которой производится интегрирование:
ш ш
<Р (M0)+J V-Sr^tf(M0) + [V. 8г.
ш„ m0
(С.) (С)
К вопросу о многозначности потенциала в безвихревом движении с изолированными трубками можно подойти и иначе. Выделим из области течения жидкости чисто безвихревую часть, рассматривая боковые поверхности изолированных трубок как границы течения, например, как твердые стеики. При таком рассмотрении движения в жидкости уже ие будет изолированных вихревых трубок, ио зато сама область течения станет многосвязной. Действительно, как уже упоминалось в следствиях второй теоремы Гельмгольца (§ 12), вихревые трубки ие могут заканчиваться в самой жидкости: они образуют либо замкнутые трубки — вихревые кольца, либо опираются иа граничные поверхности (твердые стенки, свободные поверхности раздела). Во всех этих случаях замкнутый контур, опоясывающий трубку, оставаясь е области безвихревого течения, не может быть непрерывным преобразованием сведен в точку (рис. 52); это и доказывает, что область чисто безвихревого движения при наличии изолированных вихревых трубок не односвязиа. Для многосвязиых областей в ранее проформулированную (§ 13) теорему Стокса должно быть внесено исправление. Как видно из только что приведенного на примере вихревых трубок рассуждения, циркуляция скорости по замкнутому контуру, опоясывающему кольцевую или трубчатую поверхность, нарушающую односвязность области течения, может быть отлична от нуля. Эта циркуляция, очевидно, зависит лишь от того, сколько раз коитур охватывает трубчатую поверхность, и ие зависит от формы контура интегрирования. Значения циркуляций при однократном охвате поверхностей, нарушающих связность области, называют циклическими постоянными много-связиой области. В частном случае нарушения связности области поверхностями вихревых трубок циклические постоянные оказываются совпадающими с интен-сивиостями вихревых трубок.
