Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Определив величину рт по показанию динамического отверстия измерительной трубки, а ри например, при помощи отверстия в стенке канала, по которому движется газ, найдем отношение р2оІРи а п0 графику рис. 46 — и искомое значение M1.
§ 33. Одномерное движение газа по трубе переменного сечения. Истечение из резервуара большой емкости сквозь сходящееся
сопло
Для приближенного расчета движения жидкости или газа по трубам можно отвлечься от весьма сложных деталей этого движения (об этом будет сказано в заключительных главах) и удовольствоваться следующей упрощенной схемой. Примем поток за одномерный, т. е. будем пренебрегать изменением величины и направления скорости, а также изменениями других элементов потока (давления, плотности, температуры и др.) по сечению, перпендикулярному к оси потока; будем лишь учитывать изменение средних по сечениям величин и, р, р, T и др. в зависимости от координаты х, определяющей положение сечения вдоль оси трубы. Площадь сечения А будем считать заданной функцией х. Отвлечемся от сил трения внутри жидкости и жидкости о стенку, а также от теплопроводности; иными словами, как повсюду в настоящей главе, будем считать жидкость идеальной.
'Начнем с простейшего случая—движения несжимаемой жидкости.
В этом случае из уравнения неразрывности сразу следует
где U0—средняя скорость в некотором начальном сечении (х = 0) с площадью Л0; иными словами, средняя скорость движения жидкости в любом сечении трубы обратно пропорциональна площади этого сечения.
Отсюда вытекает общеизвестное свойство движения несжимаемой жидкости по трубе переменного сечения: в сужающейся трубе жидкость движется ускоренно, в расширяющейся — замедленно.
Это очевидное свойство одномерного движения теряет свою силу при движении сжимаемого газа со сверхзвуковыми скоростями, в чем легко убедиться, составив основные уравнения одномерного стационарного движения газа: а) уравнение Эйлера:
иА = const = U0A0,
(82)
du _ 1 dp ,
dx р dx'
(83)
б) уравнение неразрывности:
р иА = const.
(84) ? 33| движение газа по трубе переменного сечения
199
Вспоминая определение местной скорости звука
а — dp'
перепишем уравнение Эйлера (83) в виде:
UdU = -I^-. d? = — (85)
P dp ' р v '
Составляя логарифмический дифференциал от обеих частей равенства (84), получим:
7+^ + ^ = 0. (86)
Исключая — из уравнений (85) и (86), найдем* P
dA dp du и du du (
А P и а? и {
или, вводя местное число M = и .
du 1 dA
'U2 , \ du
и
M2-I А
(87)
Из этого простого уравнения вытекают важные следствия:
1. Если M < 1, знак du противоположен знаку dA, т. е. при дозвуковом движении газа сохраняется то же свойство движения, что и в случае несжимаемой жидкости: с возрастанием площади сечения трубы скорость в одномерном движении уменьшается и, наоборот, при уменьшении сечения — скорость увеличивается.
2. Если M > 1, знак du одинаков со знаком dA, т. е. при сверхзвуковом движении газа в сужающейся трубе движение замедляется, в расширяющейся трубе—ускоряется. Этот парадоксальный на первый взгляд результат объясняется тем, что при расширении газа плотность его настолько сильно уменьшается, что произведение рА в равенстве (84), несмотря на увеличение площади А, все же уменьшается и приводит к возрастанию скорости и.
3. Если M=I, dA = 0. Сечение трубы, в котором число M достигает значения единицы, называется критическим сечением, так как в нем скорость движения и равна местной скорости звука а. Из равенства (87) следует, что критическое сечение может быть как максимальным, так и минимальным по, сравнению со смежными сечениями. Легко сообразить, что критическое сечение будет минимальным, так как при подходе к максимальному сечению дозвуковой поток замедляется, а сверхзвуковой ускоряется, что никак не может привести к течению со скоростью звука в критическом сечении.
4. Если dA = О и сечение экстремально (максимально или минимально), то по (87) либо M = I и, следовательно, это сечение — 200
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ {гл. lty
критическое, либо M ф 1 и du = 0. В последнем случае, каково бы ни было движение — дозвуковое или сверхзвуковое — скорость в экстремальном сечении принимает также экстремальное значение: при дозвуковом течении газа—минимальное в максимальном сечении и максимальное в минимальном сечении, при сверхзвуковом течении, наоборот, в максимальном сечении скорость максимальна, в минимальном — минимальна.
Переходя к более ^детальному изучению одномерного адиабатического и изэнтропического движения газа, заметим, что к нему применимы все ранее выведенные соотношения, связывающие между собою термодинамические параметры газа и скорость движения или число М. Необходимо только установить связь между одним каким-нибудь из этих параметров и сечением трубы А.
Примем за основную, например, связь между M и Л. Чтобы вывести уравнение этой связи возьмем уравнение
dh\ йи da ,„ .
получаемое логарифмическим дифференцированием равенства
M=A
а'
и уравнение Бернулли в форме (47):
