Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
20?
§ 34J
Основные уравнения поставленной задачи легко получить, если написать, что приток тепла не мог нарушать баланса массы и количества движения, т. е. при прохождении газом участка подогрева остаются в силе следующие два равенства:
(99)
ри = const, P _j_pM2 — const.
Припоминая известные уже формулы связи адиабатической скорости звука с температурой, давлением и плотностью газа, а также определение числа М, будем иметь:
pU-
YkRT
t. /
= /?М ^ =const,
(100)
Отсюда, деля одно равенство на другое, получим искомую связь числа M с обычной температурой T или температурой изэнтропически заторможенного газа T0:
14-Ш*
M
і +да
У Г = const, j
M
ь_і
!+^riM2
Vt1
0 const, j
J
(101)
Применим эти равенства к двум сечениям потока, ограничивающим участок подогрева, тогда будем иметь:
\
Mss
Mi
і + і +- да;
5 У П'
М,
M1
V
* і k — і „,«
1 + —2~ Щ
і+ ml Зная отношения:
-2— 1 4-'— T1 — 1 ^ T1
'10
/ь
(102)
Tw
и число M1 до прохождения участка подогрева, по формулам (102) найдем Ma, а уже затем по второй из формул (100)—и отношение
Давлений
Р%
1 -ffeMf
!+-AMf
(103)
14 зак. 1841. л. г. лойцяисюсй. 210
ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ {гл. lty
а также и все остальные термодинамические параметры. Наконец, зная число M2 и температуру 7"2, легко найдем и скорость газа за участком подогрева.
Введем в рассмотрение функцию
/(M) =
M
/г
1
м*
і + т*
(104)
входящую во вторую расчетную формулу (102). Вычислив производную
/(M)-
1, и этот макси-
M (1 + ИР) (l + M2)
видим, что функция /(M) имеет максимум при M = мум равен
/(1) =—j===-.
T 2 (?-+-!)
На рис. 50 приведен график функции /(M) для воздуха (&= 1,4). Как видно из графика, подогрев газа при M1 < 1 вызывает возрастание числа M2, а при M1 >1, наоборот, убывание числа M2. Следовательно, приток тепла к дозвуковому потоку ускоряет его, отвод теп-ла -— замедляет. В случае сверхзвукового потока, наоборот, приток тепла замедляет поток, отвод—ускоряет. Так, например, при Т10=540°К и M1 = 0,5 увеличение температуры на 20% приводит к возрастанию числа M до значения M2 ==0,6. При той же начальной температуре и числе M1 = 1,4 подогрев на 7% приведет к уменьшению числаМ до M2= 1, при этом давление увеличится более чем на 50%-
Одномерное течение газа в связи с многочисленными его приложениями к расчету реактивных двигателей и других газовых аппаратов представляет в настоящее время едва ли не самый разработанный раздел современной механики газа. Литература в этой области весьма обширна и разнообразна.
С о,г 0,4 0,6 O1S 1,0 l,Z (.6 1,8 2,0
M
Рис. 50. Г JI А В А V
БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ.
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
§ 35. Сохранение циркуляции скорости в потоке идеальной
жидкости. Теорема Кельвина и Лагранжа. Безвихревое движение. Потенциал скоростей
Рассмотрев в предыдущей главе одномерное движение в идеальной жидкости, перейдем теперь к следующим в порядке сложности классам движений — двух- и трехмерным. Таковы, прежде всего, плоское движение жидкости, затем осесимметричное и, наконец, общее пространственное движение. Исследование этих случаев представляет, по сравнению с одномерным потоком, большие математические трудности. Чтобы сделать решение возможным для интересующих практику конкретных задач, необходимо принять некоторые дополнительные упрощающие допущения об общем характере движения. В обосновании выбора этих допущений основную роль играют следующие две общие теоремы динамики идеальной жидкости.
Теорема Кельвина о сохранении циркуляции скорости: при баротропном движении идеального газа под действием потенциального поля объемных сил циркуляция скорости по любому замкнутому жидкому контуру сохраняет свое значение.
Эта теорема легко доказывается при помощи изложенной в конце § 13 кинематической теоремы Кельвина об изменении во времени циркуляции скорости. Согласно этой теореме, индивидуальния производная по времени от циркуляции скорости равна циркуляции ускорения:
^|(V-8r) = |(V.8r).
Подставим в правую часть выражение ускорения по основному Уравнению Эйлера (5) гл. III, которое в случае потенциальных объемных сил и баротропносте движения может быть переписано в виде
тог п я V= grad (П 4- S?);
тогда получим
d_ dt
$ (V • Sr) = — | grad (П +1) - 8г = — f 8 +
И»,- 212 , ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖЙДКОСТИ , [гл.
так как скалярное произведение градиента от некоторой функции на ориентированный в пространстве элемент дуги кривой есть не что иное как полный дифференциал этой функции, взятый вдоль дуги кривой.
При однозначности функций Пи § контурный интеграл по замкнутому контуру от полного дифференциала равен нулю, так что
i§ (V-Sr)= О
и, следовательно,
(V • 8r) = const,
что и доказывает теорему Кельвина. Вспоминая, что циркуляция скорости по замкнутому контуру равна суммарной интенсивности вихревых трубок, опоясанных этим контуром, можем на основании теоремы Кельвина заключить, что при принятых оговорках о баротропносте движения и потенциальности объемных сил сохраняются и интенсивности вихревых трубок'.
