Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
систему уравнений движения;^ пользоваться непосредственно уравнениями Эйлера при изучении безвихревого движения не приходится.
Для дальнейшего особый интерес представит безвихревое движение несжимаемой жидкости. В этом случае неизвестные функции разделяются: уравнение неразрывности (16) превращается в уравнение Лапласа для определения потенциала скоростей
f дх* і ду* ^ dzv ' { >
а давление р найдется после этого из равенства (14), которое можно переписать в виде:
'-'{'«-^-да+с&у+ал--}- <i8>
Безвихревое движение идеальной несжимаемой жидкости обладает многими интересными свойствами. Докажем следующую теорему Кельвина: если на границе некоторой односвязной области вихревое движение совпадает с безвихревым, то кинетическая энергия безвихревого движения в рассматриваемой области меньше кинетической энергии соответствующего вихревого движения.
Эту важную по своей общности теорему легко доказать, основываясь лншь на том, что скорости в безвихревом движении представляются градиентом потенциала скоростей и что дивергенция скорости несжимаемой жидкости равна нулю как для безвихревого, так и для вихревого движения. В самом деле, условимся обозначать символом А разность между соответствующими элементами вихревого и безвихревого движения. Тогда будем иметь следующее выражение для разницы кинетических энергий:
AT= —• J [(V +ДУ)2— VfJdt = P J + dt. (19)
T T-C
Первый интеграл справа равен
Jv-AVd* = Jgradtf-AVdz
T T
и по известной, неоднократно уже применявшейся формуле
div (tpa) = 9 div a + grad 9 • а (20)
может быть преобразован так:
J V • Д'Vdx = J grad ч> ¦ AV dt = J div (VAV) dx —J9 div (AV) dx =
t T T T
= J 9 (AV)n da - f <f Д (div V) dt,
а і
где о — поверхность, ограничивающая односвязный объем, а дивергенция разности двух векторных функций заменена на разность дивергенций этих функций. По условию теоремы, движения на поверхности о совпадают, т. с. ? 36] ИНТЕГРАЛ ЛАГРАНЖА-КОШИ И ТЕОРЕМА ЁЕРНУЛЛИ 221
ду = 0 на с, кроме того, из условия несжимаемости div V = O. Таким образом, первый интеграл в равенстве (19) оказывается равным нулю, и остается
равенство
Ar = ^-J | AV Ptft >0,
T
из которого и следует высказанная Кельвиным теорема. Иначе еще теорему Кельвина можно трактовать с вариационной точки зрения как утверждение о минимальности кинетической энергии при безвихревом движении (на „прямом пути") по сравнению с любым другим вихревым движением (,окольным путем"), если только эти движения совпадают на границе области движения.
Из теоремы Кельвина можно сделать следующее заключение: если на границе односвязнон области скорости равны нулю, то единственным возможным безвихревым движением несжимаемой Жидкости внутри области является покой. Действительно, всегда можно представить себе произвольное (вихревое!) сколь угодно медленное движение, при котором на границах скорости равны нулю; кинетическая энергия такого вихревого движения будет как угодно мала, а кинетическая энергия соответствующего по теореме Кельвина безвихревого движения, будучи положительной величиной, меньшей другой сколь угодно малой величины, должна быть тождественно равна нулю во всей области. К тому же результату можно придти и непосредственно, не пользуясь теоремой Кельвина. Для этого выведем общую формулу для кинетической энергии односвязного объема несжимаемой жидкости, движущейся безвихревым образом с однозначным потенциалом скоростей.
Имеем
"2 J V2di = j J grad-f • grad 9 dx.
Применим вновь только что использованную формулу дивергенции произведения скаляра на вектор (20), тогда получим:
^ = Y J div (f grad у) dz —у div grad ср dx =
T T
= — J f 9 (grad <р)„ do - j" dx.
a t
В поверхностном интеграле, полученном из объемного по известной формуле Остроградского, под п понимается орт внутренней нормали, направленной внутрь объема жидкости, вследствие чего перед интегралом поставлен знак минус.
Замечая, что по (17) второй интеграл пропадает, будем окончательно
иметь
а
Из этой формулы сразу следует, что, еслн на ограничивающей односвяз-
ный объем жидкости поверхности о скорость равна нулю, то и Vn- — 0,
откУда по (21) сразу будет следовать, что и T= 0. Таким образом, вновь приходим к тому же результату, который следовал из теоремы Кельвина. 222
, плоское безвихревое движение жЙдкости , [гл.
Невозможность существования безвихревого движения с однозначным потенциалом в односвязной области, на границе которой скорости равны нулю, производит на первый взгляд парадоксальное впечатление. В дальней, шем станет ясно, что такого рода движения в идеальной жидкости образуются и происходят за счет создания внутри объема некоторых „особенностей" вихрей, нарушающих однозначность потенциала скоростей, источников, стоков или диполей, приводящих к нарушению конечности значений потенциала в точках внутри области течения и др. Вместе с тем отсюда вытекает и важность рассмотрения безвихревых потоков с „особенностями" для приближения к действительно существующим движениям.
