Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
В общем случае при наличии отдельных вихревых трубок в безвихревом потоке жидкости в миогосвязной области теорема Стокса должна быть сформулирована так: циркуляиия скорости по замкнутому контуру, проведенному произвольным образом в многосвязной области, отличается от суммы интенсивностей опоясанных контуром вихревых трубок на сумму целых кратных циклических постоянных области. сохранение циркуляции. потенциал скоростей
217
Проводя дополнительные ограничивающие поверхности, можно преврати многосвязиую область в односвязиую. Так, например (рис. 53а), дву-™ область вне кольца (тора) можно сделать односвязной, если дополни-мьно провести поверхность с, закрывающую отверстие кольца. При наличии
поверхности с проведение замкнутого контура С, охватывающего кольцо, становится невозможным. Если циклическая постоянная рассмотренной до проведення а двусвязнон области была отлична от нуля, то значение потенциала скорости <р+ (M) на одной, скажем передней, стороне поверхности с будет отличаться от значения <?_ (M) на задней стороне поверхности и на величину циклической постоянной, хотя значение потенциала взято в одной и той же точке M (рис. 536). В этом случае говорят, что потенциал скоростей <р (M) при прохождении
через поверхность CT пре- у---
терпевает конечный скачок / ?+—<{>_, а поверхность a / s??7' называют поверхностью раз- / /??,0, рыва потенциала. Рассматрп- I Y/Z/ вая поверхность с вместе I Ч с поверхностью S как гра- \ ЩШ ницу области, можно счи- \ ХЩ тать потенциал ¦? непрерыв- v
ным во всей области. —
Изложенные здесь уточ- 11
нения представлений об Рис. 53.
однозначности и многозначности потенциала, а также о влиянии связности области течения, играют основную роль в понимании важнейших представлений теорий обтекания тел идеальной жидкостью и, в частности, теории крыла бесконечного и конечного размаха. Особенное значение имеет, лежащая в основе теории подъемной силы крыла, идея интерпретации неоднозначности потенциала скоростей в многосвязной области при помощи введения .присоединенной" изолированной ихревой трубки или вихревой поверхности. 218
, плоское безвихревое движение жЙдкости ,
[гл.
§ 36. Интеграл Лагранжа — Коши уравнений безвихревого движения. Теорема Бернулли. Некоторые общие свойства безвихревого движения идеальной несжимаемой жидкости в односвязной области
В случае безвихревого движения идеальной жидкости легко указать один из первых интегралов движения. Для этого возьмем уравнение Эйлера в форме Громека (13) гл. III:
^ + grad(-y~f ff4-n) + rotVXV = 0 (9)
и положим в нем, согласно (4),
V = grad о, rot V = O. Тогда, замечая, что, в силу независимости операций частного или локального дифференцирования по времени и пространственного „grad":
будем иметь вместо (9) равенство:
gradS+"?4-^+п) = о, . (ю)
которое приводит к выражению первого интеграла уравнений движения
-?-+-?(H)
где F(t) — произвольная функция времени, определяемая из граничных условий. Полученное соотношение (11) называют интегралом Лагранжа — Коши.
Интеграл Лагранжа — Коши играет в теории нестационарного движения идеальной жидкости такую же роль, как теорема Бернулли при стационарном движении. В последнем случае
= 0, F (t) = const,
и равенство (11) превращается в обычное соотношение Бернулли
= consl, (12)
причем, как уже указывалось в § 25 гл. III, при безвихревом движении константа, стоящая в правой части, будет иметь одно и то же значение во всех точках движущейся жидкости, а не только вдоль линий тока, вихревых линий и поверхностей уровня механической энергии. интеграл лагранжа-коши и теорема бернулли
219
Если жидкость может рассматриваться как несжимаемая и обьем-ных сил нет, то уравнение (12) принимает простой вид:
р+-P^l = const. (12')
Интеграл Лагранжа — Коши, так же как и уравнение Бернулли (12), в случае безвихревого движения служит главным образом для выражения давления р через кинематические элементы V и координаты, от которых зависит П. Выражая V через проекции grad» на оси декартовых координат, будем иметь:
дч It
В простейшем случае несжимаемой жидкости при отсутствии объемных сил получим:
ж+т^ + у5=77^ <13)
при наличии сил веса добавляется еще член П = gz:
+ L + (14)
При безвихревом движении жидкости или газа три неизвестные величины — проекции скорости и, V, w — выражаются через одну неизвестную функцию — потенциал скоростей ® (je, у, г\ t). Принятое допущение об отсутствии завихренности вместе с допущением о баротропносте движения (р = р (р)) сводит решение задачи о движении жидкости или газа к разысканию двух неизвестных величин саи р. Для этой цели достаточно двух уравнений.
В качестве первого уравнения возьмем уравнение сохранения массы
^ + div (PV) = O,
которое по формуле
div (pV) = div (р grad w) = pV2w -j- grad p • grad где символ V2 означает оператор Лапласа
дх2 ' ду'1 ^ дг1 ' ^ '
преобразуется к виду:
ґ)г
-Jjr -т рV2W -j- grad р - grad о = 0. (16)
Совокупность уравнений (11) и (16) вместе с уравнением связи между плотностью и давлением в баротропном процессе дает искомую 220 , ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖЙДКОСТИ , [гл.
