Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
К м„ м\ к Q = J AzIz-Jr JAeSz= J ^1Sz- J ^82 = ?-?.
M1 Ml M11
т. е. ту Же самую формулу (28).
О своеобразной аналогии между магнитными и гидродинамическими явлениями будет сказано в гл. VII в связи с решением задачи о поле скоростей вокруг вихрей, где понятие векторного потенциала будет иметь особо существенное значение.
Функцию і (г), объединяющую, согласно (31), в один комплекс оба „потенциала": скалярный — потенциал скоростей и проекцию векторною — функцию тока, называют комплексным потенциалом или характеристической функцией течения.
Покажем как, зная комплексный потенциал определить
вектор скорости V или его проекции и и V. Как известно, каждому комплексному числу можно сопоставить в плоскости вектор с проекциями, соответственно равными действительной и мнимой частям этого комплексного числа. Условимся при изложении плоского движения обозначать через V комплексную скорость
F=H-J- Ьо,
а для величины скорости сохраним обычное обозначение модуля комплексного числа:
Наряду с комплексной скоростью Vi введем в рассмотрение сопряженную скорость V, равную
V= и — iv.
Если 6 —угол, образованный вектором (комплексной скоростью V) с действительной осью, то будем иметь:
V==M-J-W = I VI (cos О-J-г sin 6) = [ V\eib, V = u—iv = \ V\(cos O — і sin 6) = j V\e-i{y
,} (36) ^ .^8J ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ПОЛЕЙ ТЕЧЕНИЯ 229
d/
рассмотрим теперь производную комплексного потенциала но комплексному аргументу. По основному свойству функции комплексной
Переменной = 6Ji±ii) ^ ^ „
dz dx дх дх^ дх '
Oi куда, согласно (30), сразу следует:
ZL=U-Iv=V = \ V\ e~i\ (37)
г е. производная от комплексного потенциала (характеристической функции) по комплексной координате равна сопряженной скорости.
Проекции скорости uav определятся, соответственно, как действительная и с обратным знаком мнимая части производной от характеристической функции по комплексной координате
U = A. Ч.§, V=-M. ч.^. (38)
Сопряженная скорость имеет ту же величину (модуль), что и комплексная скоросгь, но направлена по зеркальному отображению
комплексной скорости относительно действительной оси (рис. 56). Обратная величина
dx~~ V ~~u—iv~\ У\Є ^39^
имеет обратный модуль, но направлена так же, как и комплексная скорость.
Совокупность комплексных координат частиц жидкости г образует область течения жидкости в плоскости хОу, которую в связи с этим называют физической плоскостью или плоскостью течения. Совокупность значений комплексной скорости V образует плоскость годографа скорости или просто плоскость годографа; в этой плоскости расположатся годографы скорости, т. е. геометрические места проведенных из начала О (рис. 56) концов векторов скорости частиц жидкости.
§ 38. Построение полей течения по заданной характеристической Функции. Простейшие плоские потоки и их наложение
Будем задаваться некоторыми простейшими выражениями для комплексного потенциала и посмотрим, каким плоским безвихревым Движениям такое задание будет соответствовать.
ны ФУНКЦИЯ УЛг)~аг~\- Ъ, где а и Ь—комплекс-
постоянные, причем, как уже ранее упоминалось, аддитивная ОСтоянная Ь без ущерба для дела может быть просто опущена. 230 , ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖЙДКОСТИ , [
Составляя сопряженную скорость
= const = U0 — Iv0 = I F0 [ (cos O0 — і sin O0),
гл.
V-
dz
видим, что комплексная константа представляет одинаковую по величине и направлению во всем потоке сопряженную скорость. Одинаковой буде і и комплексная скорость
V=V0 = U0 + iv0 = I K01
Следовательно, линейная функция определяет комплексный потенциал однородного потока со скоростью I F0I, наклоненного к действительной оси физической плоскости под углом O0 = а (рис. 57):
Z=(м0—z=\ V01 е~*' Z = = I V01 (cos а — j sin а) г. (40)
Отделяя дейс твительную и мнимую части, найдем потенциал скоростей
9 = U0X -(- V0у =
= | V0 J (х cos ос -\-у sin а) и функцию тока
— v0x-\-u0y = V01 (— х sin a-j~y cos а).
В частных случаях a = O и a = , получим: при а = 0 » = | V0\х, 4» = |V0|_y,
при а ¦¦
-P = IV0I У, * =
VJx.
Эго будут потенциалы скоростей и функции тока однородных потоков, направленных вдоль осей х и у.
2°. Степенная функция ^(г) = агп (п—действительная величина). Заметим, что в этом случае сопряженная скорость
V = ^L = HCizn-1 dz
будет стремиться к бесконечности при г->со, если л> 1, и к нулю при я< 1; случай п= 1 уже рассмотрен в 1°, Введем полярные координаты, положив
. гегв. ПОСТРОЕНИЕ m-осггйших НОЛЕЙ Г1.ЧЫШЯ
2
гогда:
X (?) = arn (cos its- j і sin из), 'Л (г, є) == агп cos ns, '\(г, є) = аґ>1 sin т. Линии тока будут представляться ссмейсівом rn sin иг = с.
Полагая здесь; тс
О,
видим,
п
что при этом C=O, Т. е. роль нулевой линии тока играет совокупность лучей, выходящих из начала координат. Областью течения являются части плоскости, заключенные в углах а. = -^-
Рассмотрим простейшие случаи.
При п= 1, 2, 3 потоки будут иметь вид, изображенный на рис. 58. При дальнейшем возрастании п угол о будет уменьшаться, количество ячеек возрастать.
