Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
df_dd-
11 дх ду'
__ д-р_ д<1>
ду дх'
(30)
Функции <р и 4* не являются независимыми друг от друга функциями, они связаны дифференциальными соотношениями (30), обычно называемыми условиями Коши—Риманна, при выполнении которых комплексная величина
У. = ? + Ц = «Р У) + Ц (х, У) (31)
будет не просто функцией двух переменных (координат х, у), а функцией одной комплексной переменной г = х-\-іу. Действительно, если величина у есть функция только положения точки M с координатой г, то производная от нее в этой точке в свою очередь должна быть функцией только положения точки, т. е. координаты z, и не зависеть от направления дифференцирования в плоскости. Иными словами, можно, например, утверждать равенство производной по любому dy
направлению ~ производным по направлениям действительной и мнимой осей:
(32)
Замечая, что:
d(iy)
15 Зак. 1841. Л. Г. Лойцшиаша.
dz dx d (Iy)' 226 , плоское безвихревое движение жЙдкости , [гл.
и приравнивая, согласно равенству (32), друг Другу правые части этих равенств, получим те же выражения условий Коши — Риманна (30).
Отсюда сразу следует, что, отделяя в любой функции комплексного аргумента у (z) действительную (д. ч.) и мнимую (м. ч.) части, получим потенциал скоростей (р(х, у) и функцию тока §(х,у) некоторого плоского безвихревого движения:
и (X, у) = Л. ч. у (г), ф(л:,_у) = м. ч. у (г).
Приравнивая функцию <о(х,у) различным постоянным значениям
?(х,у) = С,
получим семейство изопотенциальных линий (следов пересечения плоскости хОу цилиндрическими изопотенциальными поверхностями); аналогично совокупность равенств
Ъ(х,у) = С,
согласно (27), представит семейство линий тока.
Легко убедиться, что изопотенциальные линии и линии тока взаимно ортогональны, т. е. пересекаются под прямым углом. Для этого достаточно вычислить скалярное произведение между ортами п и п' нормалей к рассматриваемым линиям в любой точке потока:
Я . n' == grad(p . grad^
I grad <р I * I grad ф | '
Вычисляя скалярное произведение градиентов и применяя соотношения Коши—Риманна (30), получим:
grad « . grad ? = В-. +р- - P = І1 (-11) -f- Й . р т* 0, ь ' ь т ох дх 1 ду ду дх\ ду J 1 ду дх '
что и доказывает взаимную ортогональность изопотенциальных линий и линий тока.
Совокупность равенств:
® = cp(*,j), ф==^(лг,_у)
можно рассматривать как формулы перехода от декартовых координат х, у некоторой точки к криволинейным ее координатам ш и ф* При этом изопотенциальные линии ср = С и линии тока ty = С" представят ортогональную сетку координатных линий, т. е. криволинейные координаты ® и полученные путем отделения действительной и мнимой частей в некоторой функции комплексного переменного, будут всегда ортогональными координатами. Установление взаимной связи между двумя, на первый взгляд разнородными вопросами — плоским безвихревым движением и ортогональными криволинейными координатами на плоскости — окажется в дальнейшем полезным. §37)
ПЛОСКОЕ ЁЕЗВИХРЕВОЕ ДІіИЖРІШЕ
227
Если вместо функции X (г) рассмотреть функцию iy (г), го в новом движении потенциал скоростей поменяется местами с функцией тока, а изопотенциальные линии — с линиями тока; этим приемом часто приходится пользоваться при построении обтеканий. Отсюда следует, что функция тока 4» (х, у) всегда играет сопряженную роль с функцией о(х,у) потенциала скоростей: каждая из этих функций может быть как функцией тока, так и потенциалом скоростей в двух сопряженных между собою безвихревых плоских движениях идеальной жидкости.
Заметим, что функцию тока ф (х, у) в плоском движении можно рассматривать как проекцию на перпендикулярную к плоскости движения ось Oz векторного потенциала А, связанного с вектором скорости V равенством
V = rotA, (33)
f-'fo
Рис. 55.
если предположить, что вектор А перпендикулярен плоскости движения. В самом деле, при Ax = Ay в полном согласии с формулой (26):
: О, А,
Cl) дем иметь
W =
дА, ду дАг : дг дА„ дх
M1 ' дг дА, дх дАх ' ду
дф ду' д<1 дх'
= 0.
(34)
В теории магнетизма напряженность магнитного поля можно определять как градиент скалярного потенциала или как вихрь векторного потенциала; так и в гидродинамике плоского движения поле скоростей может быть определено заданием либо скалярного потенциала ср, либо проекцией на ось г векторного потенциала А. Пользуясь представлением о векторном потенциале, легко дать простой и непосредственный вывод формулы расхода (28). рассмотрим секундный объемный расход жидкости Q сквозь сечение потока о (рнс. 55), образованное некоторой поверхностью, опирающейся на контур
M0M1M1M0, составленный из двух одинаковых контуров M0M1 и M0M1, расположенных в параллельных плоскостях, и из отрезков перпендикуляров M0Mrfj
15* 228 плоское безвихPVIiOE движение жидкости (гл. V
н MlMj к плоскости хОу, равных по длине единице. Будем иметь по (33) її формуле Стокса:
Q = J v„da= Jiota Ada= (j) A-dr, (35)
а а
где контурный интеграл берется по замкнутому контуру M0M1M1M0. Заметив, что криволинейные интегралы по отрезкам контура M0M1 и M1M1fj, по определению плоского движения, взаимно сократятся и что по той же причине вдоль всего отрезка М'аМа будет Az = 60, а вдоль отрезка M1M1, соответственно, Az — 4?, получим по (35) при h = 1:
