Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Тогда комплексный потенциал у приобретет следующее предсль-ное выражение:
Q-»co
- ft->0 h->0 ^n 5f->oo 00
т d ,, ч т /лп.
= (43)
Такой поток был уже разобран в предыдущем пункте, его линии тока и изопотенциальные линии показаны на рис. 59.
Рис. 64.
Предельный образ двух бесконечно близких особых точек — источника и стока с бесконечно большими интенсивностями — называют диполем, а величину т (она может быть как положительной, так и отрицательной) — моментом диполя. § я') і
(і);її клниі. круглого цилиндРл
§ 39. Бесциркуляционное и циркуляционное обтекания круглого цилиндра
Наложим плоский, параллельный оси х однородный поток со скоростью V00 (V00 — действительная положительная величина) и комплексным потенциалом
Xl = Усо*
на скоростное поле диполя с комплексным потенциалом
__т I
— 2я " г
и составим комплексный потенциал сложного движения
¦ „ гп 1
Z = Zi + 7.2 = v^z-2^ t'
Чтобы найти уравнение семейства линий тока, составим функцию тока
ф(ЛГ, у) = Voqy+ ?-P^ps.
Полагая правую часть равной различным постоянным, найдем уравнение линий тока
1
Нулевая линия тока
( + 2т. Xv- +J'2)"
const.
распадается на две кривые: 1) окружность: и 2) ось х:
у — О.
Выбирая произвольную до сих пор величину момента диполя равной
2-Vao
т =--,
получим нулевую линию тока в виде совокупности окружности радиуса а с центром в начале координат и оси Ox (рис. 65).
стальные линии тока легко получить, задавая различные значения констант в уравнении
(1 const. 240
шіоское безьихреьое движенйе жидкости [гл. v
Полная картина движения состоит из двух областей — вне и внутри круга. Первую область можно рассматривать как обтекание круглого цилиндра радиуса а плоскопараллельным потоком, имеющим на бесконечности скорость Voa; этот поток имеет комплексный потенциал
/«»(*+j) Mg(44)
Вторая область представляет картину течения, образуемого находящимся в начале координат диполем с моментом т внутри круга радиуса а; этому потоку соответствует комплексный потенциал
таї/ . я2\ . ,
Остановимся несколько подробнее на первом потоке. Найдем распределение скоростей. Имеем, по предыдущему:
V==^=V (l — v dz Vm\L #)'
По этой формуле можно найти сопряженную скорость V, а следовательно, и комплексный вектор скорости V в любой точке потока
с комплексной координатой г. Определим, например, распределение скоростей по контуру обтекаемого цилиндра. Для этого положим (0 — угол между радиусом контура цилиндра и осью Ох)
z = аеш ? ggj ОБТЕКАНИЕ КРУГЛОГО ЦИЛИНДРА 24 I
и будем иметь по предыдущей формуле:
(V)Ui-о ^ V00 (1 — с-Ы) = Vco^ —<?-«) = О,
откуда определим модуль скорости на контуре круга
I V| = 2VcoSin0. (45)
Из этой формулы следует, что при плоском безвихревом обтекании круглого цилиндра идеальной жидкостью скорости на его поверхности распределяются по закону синуса. В точках А к В разветвления потока 0 s=s it и 0 = 0 скорость обращается в нуль. Точки потока, где скорость движения обращается в нуль, называют критическими точками потока. При направлении движения, указанном на рис. 65, точка А называется „передней" критической точкой, точка В — „задней".
Скорость на поверхности цилиндра принимает свое максимальное
значение при 0 = z±z~ в точках С я D миделевого сечения цилиндра; это максимальное значение скорости равно
I^U = SKco,
т. е. удвоенной скорости набегающего потока (скорости на бесконечности).
Иногда приходится иметь дело с обтеканием цилиндра плоскопараллельным потоком, скорость которого VLO направлена под некоторым углом 0оо к оси Ох.
Заметим, что в этом более общем случае комплексный потенциал обтекания будет иметь ввд:
X=Vcoг+Vco-, (46)
где Vco является уже не действительной величиной, а комплексным вектором, равным
V00 = I Vorj І /Ч
Выражение комплексного потенциала (46) легко получить из равенства (44), если ввести в рассмотрение дополнительную плоскость z', действительная ось которой наклонена к действительной оси плоскости z под углом O00. Тогда в плоскости z' скорость на бесконечности будет представляться действительной величиной I V00I, и по (44) получим:
XИ = IVcoIг' +1 V00Ig.
Подставляя сюда выражение z' через z\
/ —ЇВ~.
z = ге
Докажем правильность формулы (46):
X (г) = I Vco \е • г + I Fjo I • ^ = VaoZ + V00 f.
16 Зак. 1841. Л Г. Лойпянсккй. 242
ІІЛОСКОЬ БЕЗВИХРЬВОІ движьнйь ЖИДКОСТИ
Обратимся теперь к рассмотрению соответствующего формуле (45) распределения давлений по контуру цилиндра. Для этого вспомним, что при безвихревом движении несжимаемой жидкости давление р связано с величиной скорости | V\ формулой Бернулли [§ 36, равен-ство (120]:
¦ Pl^ls 4.
P + 2 = const.
Константу определим из условия на бесконечности [возвращаемся к обозначению | V\ = V]
Vl
Poo + р ~Y = const,
тогда будем иметь, вводя безразмерный коэффициент давления р:
V \2
P-
/ V Y
= 1 — (у^) ==1-4 Sin2 0. (47)
Из формулы (47) следует, что распределение по контуру цилиндра безразмерного коэффициента давления р не зависиг ни от размеров цилиндра, ни от величины скорости и давления на бесконечности. Вот почему так удобно пользоваться этим коэффициентом при изучении давления потока на поверхности обтекаемого жидкостью цилиндра. В дальнейшем будет показано, как эти свойства коэффициента давления распространяются и на тела других форм.
