Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
+ 7ГПГ e^* + = Y Vc0 (г + VJrzr^ +
+ (55)
Из последнего выражения легко вновь получить комплексный потенциал обтекания круга (46). Для этого достаточно заметить, что в случае круга а = Ь и с = О и что, кроме того,
g_ Yz2 — c2 I
с* Uo'~~ 2*;
тогда (55) даст
7 = 1^0-22 + 1(2^1^.1 = 17^ + Vca^.
Если положить в (55) 6 = 0, а = с, то получим потенциал обтекания пластинки (рис. 71), расположенной по отношению к набегающему потоку под углом атаки P = Sco:
у. "=Y v^iz-І/*2—с2)+-! Veo^+ IZia=T2) =
=-(Vca+V0^Z--(V^-- Va,) Vz*-с* =
= UoaZ — iVoo Vz2--C2, (55') где Uca, V00— проекции Voo на оси координат. ОБТЕКАНИЕ ЭЛЛИПСА, ПЛАСТИНКИ И ДР.
253
По составу выражения комплексного потенциала (55') можно заключить, что косое обтекание пластинки складывается из двух течений: 1) вдоль пластинки, по направлению действительной оси со скоростью Uoa', комплексный потенциал этого обтекания равен
X1 (г) = UcoZ;
и 2) перпендикулярно к пластинке со скоростью Ivx, направленной вдоль мнимой оси; комплексный потенциал этого движения равен
X2 (*) = —tocoV*5--^, (55")
в чем можно было бы убедиться и непосредственно, строя линии тока по этой простой формуле.
Определим сопряженную скорость рассматриваемого косо набегающего на пластинку потока; будем иметь
Al _„____
Приравняв правую часть нулю, найдем координаты критических точек А к В (рис. 71):
CUco
z = x = ± v . = ± с cos р,
й- -- Mco — W00 ^ о . (56)
где, напоминаем, с —- половина длины пластинки; при P = -g- обе критические точки сходятся . в начале координат.
При z = ± с, т. е. на передней и задней кромках пластинки, скорость, согласно (56), обращается в бесконечность, что видно и по сгущению линий тока на концах пластинки. На самом деле инертная жидкость не может безотрывно обтекать острые кромки пластинки, так как при образующихся бесконечно больших скоростях должны (со- ' /// гласно теореме Бернулли) ' появляться бесконечно боль- Рис. 71. шие разрежения, что физически невозможно. Как вскоре будет показано, в таких случаях можно теоретически получить обтекание с отрывом струй. При этом скорость на острых кромках станет конечной, но потенциал обтекания уже не будет непрерывным во всей физической плоскости. 'і')4 плоское ВЕЗвихРьвоь движешн жидкое і и [гл. v
Покажем, как построить обтекание пластинки с бесконечной скоростью лишь на одной, например, передней острой кромке и с конечной скоростью на задней кромке. Этот прием является общим приемом теории крыла и будет в дальнейшем подробно изложен (постулат Чаплыгина, § 42).
Рассмотрим комплексный потенциал чисто циркуляционного движения жидкости вокруг эллиптического цилиндра. Для этого напишем равенство
г = с Siny = с sin (©-)-/<]>) = с (sin© ch i]>-|~-/cos® sh<J/).
Подобно тому, как это делалось по отношению к равенству (51), легко заключить, что софокусные эллипсы ^ = const будут линиями тока в некотором движении жидкости вокруг любого эллипса. Такое движение и будет чисто циркуляционным движением вокруг эллипса или, в частности, вокруг пластинки — отрезка, соединяющего фокусы семейства эллипсов (рис. 72). Зададим комплексный потенциал чисто циркуляционного движения вокруг эллипса функцией
-/.=Iarcsinf (57)
где постоянная Г пока не определена.
Выражение это совпадает с выражением комплексного потенциала (42) единичного вихря, если фокусное расстояние 2с устремить к нулю. Действительно, по известным формулам теории гиперболических функций от комплексного аргумента будем иметь:
X (І+ /'"НО.
или, используя свободу в выборе аддитивной постоянной в выражении комплексного потенциала,
Г , (\ГC2-Z2-IzX
X=-^Hi—з->
Переходя в этом выражении к пределу при с-* 0, получим, применяя обычное правило раскрытия неопределенностей:
2 с
Г . Г/Ус5"="?2 — iz\ "1 Г. Г/2УТ2=Т2\ 1
*—- я*ta К —з—L0 J=-^ln [(-IF-Lo J=
= -?lni==2&ln*+CODSt'
т. е. равенство (42).
Чисто циркуляционный поток вокруг пластинки (b = 0, а = с) будет иметь тот же комплексный потенциал, что и эллиптический цилиндр, для которого пластинка служит фокусным расстоянием. ОЫЬКАНИЬ ЭЛЛИПСА, HJiAl 1ИІІКИ H ДС.
§ 40|
Сопряженная скорость будет равна
Г
V-.
2п ус2 —г2
на поверхности пластинки (у = Oy — с < л; < ~f- с) сопряженная скорость действительна и равна:
(при Г > 0, и , < 0)
+ 2it YCi на верхней поверхности и
и.
-X2
(при Г > 0, и_ > 0)
2 л Ус2 - .. на нижней.
Отвлечемся от того, что отрезок /7/7' представляет некоторую твердую стенку — обтекаемую циркуляционным потоком пластинку — и представим себе всю плоскость хОу занятой жидкостью. Тогда линия FF' представит линию разрыва скоростей в потоке. В самом деле, по только что доказанному, при переходе через линию FF' (рис. 72) по перпендикулярному к этой линии бесконечно малому отрезку М_М+, концы которого расположены по обе стороны от линии FF', скорость и претерпевает конечный скачок
It Vc2-JC2
Рис. 72.
В отличие от скачка уплотнения, где разрыв непрерывности происходил в скорости, нормальной к поверхности разрыва, в настоящем
