Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Физическая плоскость вспомогательная плоскость
Рис. 85.
г = оо переходила в бесконечно удаленную точку С = оо и чтобы в этой точке сохранялось направление некоторой прямой, например, направление скорости на бесконечности V00:
при С—у со, г—у со, arg V00 Замечая, что по первому равенству (76)
1
= arg Va
ту* I
Voo • —
m„
со
где под комплексной величиной m здесь и в дальнейшем будем понимать коэффициент конформного преобразования
m ¦¦
заключим, что условие
dz_
=/'(9,
' arg Vco = O00 = arg Va
эквивалентно требованию, чтобы коэффициент конформного преобразования в бесконечно удаленной точке W0o был действительной и положительной величиной
и, следовательно,
/Иоо =/' (со) > О,
; т.,
Vlt
V
та
I v^l ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
Комплексный потенциал обтекания круга в плоскости С швее ієн 1 и будет равен, по (46) и (48):
= v^: + iCf+ 1П с
fflc^criC+Vc^ + ^lnC, (77)
где Г* — произвольная, наложенная на круговой цилиндр циркуляция; одну из постоянных (коэффициент преобразования /Mco или радиус круга а) можно задавать совершенно произвольно, например, полагать равной единице.
Таким образом, решение задачи внешнего обтекания контура С свелось к исключению параметра С из системы уравнений:
X = у* Ю = «*» (VtJ: + Va f)+? 1 п с, \ (78)
z=/(t). J
Докажем, что циркуляция скорости Г по любому замкнутому кон-туру C1 (на рис. 85 показанному пунктиром), один раз опоясывающему крыловой контур С, будет равна наложенной на обтекание круга в плоскости С циркуляции Г*. Для этого заметим, что по определению циркуляции и по (78) можно написать (д. ч.—символ действительной части):
Г = ^ (и dx -j- v dy) = (j) du — д. ч. J) dy =з
= д. ч. I^dC = д. ч.
(Л о*
Эта общая для обеих плоскостей постоянная Г является характерной для данного течения в двусвязной области и может (см. § 35) рассматриваться как „циклическая постоянная" двусвязной области плоскости г вне контура С. При конформном отображении этой двусвязной области на плоскость С циклическая постоянная сохраняет свое значение.
Из системы равенств (78) следует, что задача об обтекании профиля С потоком заданной по величине и направлению скорости на бесконечности имеет бесчисленное множество решений, зависящих от выбора величины циркуляции Г. С точки зрения математической теории идеальной жидкости такой произвол отвечает сущности вопроса. Как уже было показано раньше для случая обтекания окружности, налагая ту или другую циркуляцию, можно получить бесчисленное множество форм обтекания кругового цилиндра с различным расположением критических точек (типичные обтекания показаны на рис. 68). Точно так же для одного и того же крылового профиля с угловой § 42I
ПРЯМАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ПЛОСКОГО ДВИЖЕНИЯ
27 Я
ш
точкой на задней кромке и при той же по величине и направлении скорости на бесконечности теоретически возможны три указанные на рис. 86 типа обтекания. В случае а, так же как и в случае в, жидкость должна перетекать с одной стороны поверхности крыла на другую: с верхней на нижнюю в случае вис нижней на верхнюю в случае а. При этом на острой кромке должны образовываться либо бесконечно большие скорости, что приводит к физически невозможным бесконечно большим отрицательным давлениям, либо происходить срывы потока с поверхности профиля и вихреобразования. Среди трех указанных возможных форм обтекания только одна форма „б" приводит к плавному отеканию струй жидкости с задней острой кромки крыла с конечной скоростью в этой угловой точке В. Естественно, встают вопросы: осуществляется ли такая форма обтекания в действительности, устойчива ли она и сохраняется ли при достаточно широком диапазоне углов атаки. На эти важные вопросы впервые ответил С. А. Чаплыгин, выдвинувший в конце 1909 г. в дискуссии по докладу Н. Е. Жуковского новый постулат, получивший широкое применение под именем постулата Жуковского — Чаплыгина. Согласно этому, в настоящее время хорошо проверенному на опыте постулату,
для каждого крылового профиля с острой задней кромкой существует более или менее широкий диапазон углов атаки, при котором профиль обтекается без отрыва струй, с конечной скоростью на задней кромке. Крыловые, так же как и винтовые, лопаточные и другие профили, отвечающие постулату Чаплыгина, будем в дальнейшем называть хорошо обтекаемыми, остальные — „плохо обтекаемыми". Само собой разумеется, что обтекаемость не есть чисто геометрическое свойство профилей. В дальнейшем будет показано, что на самом деле обтекаемость зависит не только от формы профиля, но и от угла атаки, скорости потока, присутствия вблизи профиля других тел и т. п. Профиль „хорошо обтекаемый" при одних условиях может стать „плохо обтекаемым"—при других. В дальнейшем, говоря об обтекании тел идеальной жидкостью, будем предполагать, что это обтекание происходит с конечными скоростями во всех точках поверхности тела.
Принятие постулата Жуковского—Чаплыгина позволяет однозначно определить величину циркуляции Г, наложение которой приводит к безотрывной форме обтекания с конечной скоростью на задней острой кромке.
