Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Применение символов неопределенных ингегралов преде ігшлиеі го удобство, что позволяет сразу найти скорости потоков:
KZ
V^ sin
Ia
*Y-S--S
V2-.
q cos
Ча
dz
" dz '
± j/^sin®
2a
sin2 ~
2a
(65}
Перед корнями поставлены знаки rt, чтобы напомнить известную особенность корня квадратного как функции комплексного переменного. Точки А и В с координатами z = ї с, в которых подкоренные величины обращаются в нуль (а скорости в бесконечность), являются точками разветвления
Рис. 76.
в плоскости комплексного аргумента. При обходе этих точек по окружностям бесконечно малого радиуса (рис. 77) значения корня меняют свой знак, так что двум бесконечно близким точкам M и M', находящимся с равных сторон действительной оси на отрезке AB, будут соответ- ----
ствовать одинаковые по м
абсолютной величине, но / ґ~д\ ___*
разные по знаку действи- I ( ................) I
тельные значения корня. - — ^ y'
Отсюда следует, что на от- — ——
Резке AB рассматриваемые
корни являются двузначны-- - - р 77
ми функциями, а сам отре-зок—линией разрыва функции. Чтобы избегнуть этой двузначности, можно представить отре юк AB, как ,разрез* в плоскости г. Тогда точки M и Mf окажутся расположенными по обе стороны от разреза и непрерывный переход от одной к другой станет возможным лишь по кривым, обходящим точки разветвления (на рис. 77 показанным пунктирами). Такое рассмотрение физической плоскости z, как
17* 258 ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИг ЖИДКОСТИ і пі. V
плоскости с бесконечной системой „разрезов" AB, ArBr и т. д., позволяет считать корень квадратный, входящий в выражение скоростей, однозначной функцией, но при этом сама плоскость г становится многосвязной, вернее сказать, бесконечно связной. Исследуемое обтекание решетки пластин дает пример плоского безвихревого движения в многосвязной области.
Формулы (65) позволяют составить полное впечатление о картине обтекания рассматриваемой решетки пластин. Прежде всего заметим, что при замене г на z?i2na, где и= 1,2,..., формулы (65) не изменяются. Это говорит о периодичности картины обтекания, причем периодом служит величина 2а, называемая шагом решетки.
При z = iy тригонометрические функции перейдут в гиперболические or действительного аргумента, так что для точек оси Oy будем иметь:
и иУ
^sh ш
U1 = 0, V1--
¦V^ш+^ш
qchI
Vi--¦ .,, —........ , а, = 0,
(66)
"3 = "со. vS = О- J
При у -- — о:, согласно сделанному замечанию о знаках перед корнем: О,
при у = + со:
IOO СО'
«з» = — я, v> = о,
".SOO= "со. ®3оо =
«!со = tfICO = г'со.
"2со = + ?. ®2оо=0,
f,iM = "co. tlSCO = O.
При Z — О в точке О первый поток имеет скорость, равную нулю безотносительно к тому, с какой стороны разреза взята точка О; таким образом,
ючки О, О', О"____ буд} т служить критическими для первого потока.
Критическими і очками второго потока будут точки, абсциссы когорых являются корнями уравнения
Т.Х -
cos — = 0.
2а
т. е. точки С, D и др.
На отрезке AB действительной оси (— с<х < -J- с), как можно непосредственно заключить по формулам (65), в первом и втором потоках скоросги будут направлены вдоль пластинки, но они будут иметь разное направление сверху и снизу пластинки (рис. 75 и 76). .чежду пластинками (с<С_х<^'1а -с) действительные части сопряженных скоростей (65) первого и второго потоков обращаются в п> чь, скорости направлены перпендикулярно оси Ох.
Накладывая рассмотренные потоки а, б, в друг на друга, можно получить различные обтекания решетки. Так, соединяя комплексные потенциалы (62) и (64) получим бесциркуляционный поток (рис. 78), аналогичный ранее рассмотренному обтеканию единичной пластинки (рис. 71). Складывая чисто циркуляциониый поток (63) с параллельным оси Ox потоком (64), можно получить поток, показанный на рис. 79. ОБТЕКАНИЕ ЭЛЛИПСА, ПЛАСТИНКИ И ДР.
261
Рис. 80. 262
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИг ЖИДКОСТИ і пі. V
Если сложить все три потока, то можно так подобрать скорость V2co= Itq чисто циркуляционного потока, чтобы на задней (по направлению течения) кромке пластинки скорость была конечной. Для этого, согласно (65), достаточно удовлеіворить условию
JC С . J1С
при Z = C q cos = Vcosing-.
При выполнении этого равенства, т. с. при
JT с
обтекание 6y.ii ет иметь вид, представленный на рис. 80.0 силовом воздействии потока на пластинку в решетке, так же как и на изолированную пластинку, будет сказано далее в связи с применением теоремы Жуковского.
§41. Плоское движение с отрывом струй. Разрывное обтекание пластинки н протекание жидкости сквозь отверстие
В предыдущем параграфе уже указывалось, что жидкость не может обтекать острые кромки тел. Образующиеся в этих точках бесконечные скорости вызывают фшически невозможные бесконечные отрицательные давления; на самом деле жидкие струи отбываются с острых кромок, создавая сложные вихревые движения. Простейшая схема безвихревого описания такого рода движений приводит к необходимости отказа от основной гипотезы непрерывности поля скоростей и введения в рассмотрение линий разрыва скоростей, которыми служат сорвавшиеся с острых кромок линии тока.
