Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
случае разрыв происходит в ско-^ и+ рости, направленной вдоль линии
разрыва. Рассмотрим ближе природу такого касательного скачка скорости.
Окружим некоторую точку M (рис. 73) на линии разрыва FF' бесконечно малым прямоугольным _ __контуром, состоящим из отрезков AB= CD = ds, параллельных линии FF', и AD = ~BC, перпендикулярных к ней. Циркуляция скорости по этому замкнутому контуру
-Vds
Ґ 0 •—..... M F
Hs
и _ Рис. 73.
(и+ — u_)ds -
п Yci-Xli 256
ПЛОСКОЇ ВЕІВИХРЬВОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
[гл V
оілична от нуля; следовательно, на отрезке db линии разрыва скоростей расположены вихри с общей интенсивностью, равной этой циркуляции.
Обозначим через -у плотность распределения вихрей, г. е. интенсивность непрерывного их распределения, приходящуюся на единицу длины отрезка FF'. Гогда получим
= —~u+)ds
и, следовательно,
Непрерывное распределение вихрей вдоль некоторой линии при плоском движении (в пространстве эгому соответствует распределение прямолинейных вихревых нитей на цилиндрической поверхности) образует вихревой слой.
Из сказанного выше следует, что чисто циркуляционное движение (57) вокруг некоторого эллиптического цилиндра (в частности— пластинки) эквивалентно потоку, образованному вихревым слоем, расположенным вдоль линии, соединяющей фокусы эллипса, причем плотность распределения вихрей в слое определяется фор мулой (58).
Суммарная интенсивность вихревого слоя будет равна
J-C +г
Г «dx = L f = г
—с —с
что и определяет физический смысл константы в формуле (57). Таким образом, комплексный потенциал (57) является обобщением комплексного потенциала (42) плоского циркуляционного движения жидкости вокруг единичного вихря на случай прямолинейного вихревого слоя конечной длины, но той же суммарной интенсивности, что и единичный вихрь.
Подобно тому, как в предыдущем параграфе было найдено обтекание круглого цилиндра с циркуляциеи, так же можно найти и обтекание эллиптического цилиндра с циркуляцией. Для этого достаточно сложить комплексные потенциалы бесциркуляционного обтекания эллиптического цилиндра и чисто циркуляционного его обтекания.
Так, например, в случае косою циркуляционного обтекания пластинки будем иметь комплексный потенциал
/ -=- u0-z — Wa I/г2 —с2 arc sin —. (59) ? 40| оётекаМие эллипса, пластийкй й др» 267
Составляя производную по г, найдем сопряженную скорость
77 • г , Г 1
V =Uco— W00 —Ґ -\---=
/г2 — с2 2л Yс* —г*
P , Г
Пользуясь произволом в выборе „наложенной" циркуляции Г, можем подобрать ее так, чтобы скорость на задней (по направлению обтекания) кромке пластинки F стала конечной. Для этого, очевидно, достаточно положить
Г = — 2я©оос = - 2itc I V001 sin 0ео, (61)
где 0цо — угол атаки. Соответствующая плавному обтеканию задней кромки сопряженная скорость будет по (60) и (61) равна:
V = U00-Voa^f(60')
При этом скорость на задней кромке F пластины будет равна (и) г_е = Wos == I V001 cos Oco. Картина циркуляционного обтекания пластинки с плавным сходом струй с задней кромки показана на рис. 74.
Сравнивая эту картину с соответствующим бесциркуляционным обтеканием пластинки на рис. 71, видим, что при выбранном значении циркуляции (61) задняя критическая точка В совместилась с задней кромкой F пластинки; на передней кромке F' скорость остается равной бесконечности, что при действительном обтекании приведет к отрыву потока.
Как заметил впервые С. А. Ча-плыгин, задние острые кромки Рис. 74.
крыловых профилей обтекаются,
как правило, без отрыва, если только углы атаки не выходят за пределы некоторого интервала. Иными словами, при действительном обтекании профилей в потоке возникает как раз такая циркуляция, которая необходима для создания непрерывного обтекания задней кромки с конечной скоростью. Об этом подробнее будет сказано в § 42. Что касается наличия передней острой кромки, то оно нежелательно; обычно эту кромку закругляют, создавая плавный „носок" профиля.
(60)
17 Зак. 1841. Л. Г. Лойцянсшш. 258
плоское Безвихревое движениг жидкости
і пі. V
Рассмотренная только что задача об обтекании пластинки может быть обобщена на случай системы бесконечного числа пластинок ширины 2с (рис. 75), расположенных вдоль оси х на равных друг от друга расстояниях 2а.
Рис. 75.
Н. Е. Жуковский і указывает следующие интегральные выражения для комплексных потенциалов:
а) обтекания решетки пластин потоком, направленным в бесконечности в положительную сторону мнимой оси (рис. 75):
X1W
г» itz .
I
J /-S--S
(62)
б) чисто циркуляционного потока вокруг пластинок (рис. 7С):
X2 (г) = Ч
J
JCZ ,
cos Tadz
2а
„ісг -Sin2r-2а
в) плоскопараллельного потока вдоль действительной оси:
Xs (*) = U00Z,
(63)
(64)
сложение которых приводит к общему косому циркуляционному обтеканию указанной решетки пластин.
і Н. Е. Ж у к о в с к и й, Вихревая теория гребного винта. Статья вторая. Избр. соч., т. II, стр. 257. § 401
ОБТЕКАНИЕ ЭЛЛИПСА, ПЛАСТИНКИ И ДР.
259
