Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
о
Как и в случае бесциркуляционного обтекания цилиндра, при циркуляционном обтекании сопротивления нет (Rx = 0), но зато появилась поперечная сила Ry, равная, по (50), произведению плотности жидкости на скорость набегающего потока и на циркуляцию. Формула (50) является частным случаем общей теоремы Жуковского, относящейся к любому обтекаемому контуру; доказательство этой теоремы будет дано ниже.
Возникновение поперечной силы при обтекании вращающегося артиллерийского снаряда набегающим воздухом было обнаружено еще в середине XVIII в.
Роторы Флетнера, представляющие собою вращающиеся цилиндрические башни, размещенные на палубе корабля, создают при наличии набегающего ветра перпендикулярную к направлению ветра силу, движущую корабль. Аналогичный эффект наблюдается на закрученных теннисных и футбольных мячах и во многих других случаях.
Как будет показано в дальнейшем, задача о циркуляционном обтекании круглого цилиндра имеет основное значение. К этой задаче будут сводиться все остальные случаи обтекания замкнутых контуров и, в частности, задача об обтекании крыла.
§ 40. Применение криволинейных координат. Бесциркуляционное и циркуляционное обтекания эллиптического цилиндра и пластинки.
Задача Жуковского об обтекании решетки пластин.
В некоторых, более сложных, чем рассмотренные в предыдущих параграфах, случаях задача об определении комплексного потенциала облегчается, если потенциал искать не в физической плоскости г=> х-^-іу, а в плоскости другого вспомогательного переменного - = S-J-W), связанного с г некоторой аналитической зависимостью
г = (51)
Геометрически это можно трактовать как решение задачи обтекания в криволинейной системе координат (?, Y)), т. е. разыскание комплексного потенциала в виде
Х = Х(0- (52)
Совокупность уравнений (51) и (52) определяет искомую связь между у ц г в параметрическом виде, причем роль параметра играет комплексная переменная С- Поясним это примером. 250
, плоское безвихревое движение жЙдкости ,
[гл.
Уравнение (с—действительная постоянная)
z = c chC (51')
даст переход от декартовых координат х, у к эллиптическим координатам I, г]. В самом деле, отделяя в равенстве (51') действительную и мнимую части, будем иметь:
х -f iy = с ch (? -J- щ) = cchZ cos ї) -j- ic sh \ sin kj,
X = с ch % cos т],
у = с sh \ sin Tj.
Полагая здесь S = a = const, получим семейство эллипсов (рис. 69)
(51")
Ci Chi а ' C2Sh2O
1
с полуосями а = с cha, ? = csh а и фокусным расстоянием с= j/a2—Ь%;
полагая Yj = P= const, получим семейство
1
C2Cos2P C2Sin2P
Рис. 69.
софокусных с предыдущими эл-X липсами гипербол, имеющих полуоси с cos P и с sin р. Рассмотрим теперь комплексный потенциал
X = Л ch (С—ч), (52')
где А и ? = «-f-i'P — действительная и комплексная постоянные. Переписывая этот комплексный потенциал в форме
О + /<Ь = Л Ch [($—«) + /(Y1 — р)],
сразу видим, что
ф = 0, если ? = а или Y) = р,
т. е. нулевая линия тока состоит из эллипса I = а и гиперболы т) = P (на рис. 69 показанных жирной линией). Чтобы найти значение постоянной А, составим выражение сопряженной скорости
dy . dz_A sh (С — у)
V = ^-dz
dt, • dt,
csh?
и вычислим ее на бесконечном удалении от эллипса I-Pco-угол между вектором Vco и осью Ох):
¦¦ а. Будем иметь
I/
Va
А .. Sh(C-Y) А .. !е< — Iim —v " =— Iinii—z— -
с С-*® shS с ei;
.e-V. ОБТЕКАНИЕ ЭЛЛИПСА, ПЛАСТИНКИ И ДР.
251
откуда получаем
Va
Из последнего равенства вытекает:
O00 = P, A = c\Va
\е°
причем постоянная а может быть, по предыдущему, выражена через полуоси обтекаемого эллипса по одной из следующих формул:
и а
ch а = — : с
V^
так что
Ba = ch a -J- sh а =
sh а = — с
а+Ь
—-------, th а.
Ya2-Ь*
Л = (C-M)I V00I
Итак, совокупность равенств
Х=я(в-М)| V00Ich(C-T)5 г = ссh С,
где, напоминаем,
(53)
У. (г)
¦je.a + ip^arth-j. + ifloo, c = Va2—b2,
дает параметрическое выражение комплексного потенциала обтекания эллиптического цилиндра с полуосями а и b плоским безвихревым потоком несжимаемой жидкости, имеющим скорость на бесконечности, равную по величине I V00 J и направленную под углом Oco к большой оси эллипса; угол P=^o0 принято называть углом атаки
Картина линий тока показана на рис. 70.
Для построения линий тока и изопотенциальных
линий можно использовать функцию тока и потенциал скоростей, которые получатся исключением ? и Yj из системы уравнений:
9 = (o-l-QI V00Ichd-a) COS(Yi-P), ф = (a-f-0)| V00 J sh (S — а) sin (yj —Р), х = с ch ? cos т}, у = с sh % sin т). 252 , плоское безвихревое движение жйдкости , [гл.
Можно также исключить С непосредственно из уравнений (53). Для этого перепишем первое из уравнений (53) в виде
X = (e + 0)| V00 |(chTch С —shTsht), а из второго найдем
cht = f, sht=/"
тогда будем иметь
Х = (в + *)1М(?сЬт —j/" S-lsh^)' (54)
или, заменяя:
eh т = ch (а $) = 1 +
sh т = sh (а -J- ф) = — (е^Р — е-«-*Р),
.«я + *
получим еще такое выражение для -/: 7 = 4 (« + I Kco I [^T1 (Z- V^=^) +
