Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Химия -> Лойцянский Л.Г. -> "Механика жидкости и газа" -> 73

Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.

Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа — Москва, 1960. — 676 c.
Скачать (прямая ссылка): mehanikagidkostiigaza1960.djvu
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 231 >> Следующая


const,

2 1 ft—1

которое после дифференцирования дает

2

и du-\- _ a da = О,

или, после деления обеих частей на а2 и замены a = Jp

da_ k — 1 до2 du

а 2 и

Подставляя это значение ^ в (88), получим

ОМ M



Сравнивая это уравнение с уравнением (87), будем иметь:

/

1_ м йА ? 33|

движение газа по трубе переменного сечения

201

Уравнение это нетрудно проинтегрировать и получить искомое уравнение связи между числом M и площадью сечения А:

к+1

k—\

Ai M

1

-М®

,2(?-!)

1



(89)

где A1 — произвольное начальное сечение трубы и M1 — число M в этом сечении.

Предположим, что роль начального сечения играет критическое сечение A1 = Л*, т. е. такое сечение, в котором M1 = I, тогда равенство (89) приводится к более простому виду:

к+1

А_ __ А* ~ M

1 +

k+i

2

(90)

На рис. 47 приведен график этой важной зависимости для воздуха (ft = 1,4). График подтверждает ранее отмеченный факт: в дозвуковом потоке (М < 1) для увеличения числа M сече-ние А следует уменьшать, в сверхзвуковом потоке (М > 1), наоборот, увеличивать; вместе с тем график показывает количественное соотношение между изменениями чисел M и Л. Так, например, из рис. 47 следует, что для повышения числа M от 0,2 до 0,8 газ должен пройти через участок суживающейся трубы—конфузора—с сечением, уменьшающимся в три Раза; чтобы увеличить число M от значения 1 в критическом сечении до 3,2, необходимо построить расширяющуюся трубу—диффузор — с площадью на выходе, в пять раз превышающей площадь критического сечения.

Присоединим к формуле (90) известные уже по предыдущему формулы (69)} (70), (66) изэнтропической связи давления, плотности и температуры с числом М, которые, в силу (51) и (52) полезно

Рис. 47. 202

ОДНОМЕРНЫЙ ПОТОК ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

{гл. lty

переписать в виде:

JL

р*

Ш'+^Г-

т_

т*

(91)

Совокупность равенств (90) и (91) представляет полное решение задачи об одномерном стационарном адиабатическом и изэнтропическом движении газа по трубе переменного сечения; решение это представлено в удобном параметрическом виде, причем роль параметра играет число М. Задавшись законом изменения площади сечения трубы А (л), определим M (х) по (90), а затем и искомые р (х), р (х) и Т(х) по (91).

Из уравнения неразрывности или сохранения массы (84) следует, что при наличии в одномерном потоке критического сечения Л* будет существовать соотношение

Л р*«* 1 (92)

где величина

0 =

А* ри 0 '

р и _ ри _ P и

P *и

* Р*а* Ykp*p*

нредсіавляет огношение массового расхода газа через единицу площади сечения трубы к его критическому значению. Этот безразмерный массовый расход данного газа является функцией только числа M и, согласно (90), равен:

(? + I \ 2(/.-1)

--JTT1- • (93)

!+V-mV

График зависимости 0 от M для воздуха (k = 1,4) приведен на том же рис. 47.

В качестве первого примера приложения выведенных формул рассмотрим классическую задачу об изэнтропическом истечении газа из резервуара (котла) очень большой вместимости.

Предположим сначала, что сопло, из которого происходит истечение, имеет вид конфузора, т. е. канала с уменьшающимся вниз по потоку сечением. Обозначим через р0, р0, T0 термодинамические параметры газа в котле, где газ, в силу большой вместимости котла, может рассматриваться как покоящийся (и = О, M = O), через р, р, Т, M — соответствуй її цие параметры в выходном сечении, площадь которого ? 33| движение газа по трубе переменного сечения 203

пусть будет А, и через р'—давление в среде, куда происходит истечение; это давление р' в теории истечения называют противодавлением.

Определим прежде всего основную характеристику одномерного потока в целом — секундный массовый расход газа т, одинаковый для всех сечений потока и равный

т = риА = р *и*Ав = р*а*А0 = Vkpi: f-AQy или, на основании формул (52):

к+1

^^(ТТГТ^УШ^- (94)

При заданных параметрах газа в котле и геометрической форме сопла секундный массовый расход газа m является функцией только числа M в выходном сечении, определяемой выражением 0 (M) в формуле (93). Что касается выходного числа М, то оно, в силу принятой наперед адиабатичности и изэнтропичности потока, определяется заданием давления на выходе р, согласно известной формуле (69):

Определяя отсюда M в функции от — и подставляя это значе-_ Po

ние M в выражение в, получим после простых приведений формулу:

представляющую, очевидно, простое приложение ранее указанной формулы Сен-Венана и Ванцеля [(67) гл. III].

Пользуясь одновременно формулами (94) н (95), легко исследовать изменение секундного массового расхода истечения m в функции otJпротиводавления р', которое при р'^р* совпадает практически с Py или числа M в выходном сечении.

Составив логарифмическую производную

JL dm — 1

ЛЄГК0 заключить, что величина m достигает своего максимального" значения прн M = I, т. е. в тот момент, когда выходное сечение станет критическим и давление примет свое критическое значение р' = р=р*; 204
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 231 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed