Механика жидкости и газа - Лойцянский Л.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 86.
18 Зак, 1841. Л Г. Лойцянсиив. 274
ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИг ЖИДКОСТИ і пі. V
Для определения этой циркуляции, вернемся к рассмотрению kou формного отображения внешней по отношению к профилю С (рис. 87) области физической плоскости z на внешнюю по отношению к кругу С часть вспомогательной плоскости С. Пусть угловой точке В на про-филе С соответствует некоторая точка В* на окружности круга С1. Эти точки являются особыми точками преобразования, так как в них нарушаегпся основное свойство конформного преобразования—сохранение углов. Действительно, внешний угол с вершиной в точке В на задней кромке, равный 2ж — 8, где 8—острый угол задней кромки, переходит в плоскости С в неравный ему угол тс с вершиной в точке В'.
Легко составить аналитическое выражение функции, совершающей такое отображение, в областях, близких к особым точкам В и В* в плоскостях z и С. Покажем, что это будет функция
2 it— 5
г—гв = M К — Св*)~ (79)
где zB и Cb*— комплексные координаты точек В и Bv, M—некоторое действительное число.
Для этого проведем вокруг точек В и В* окружности произвольных малых радиусов г и г* и обозначим через (3 и j3* углы, образованные этими радиусами с осями х и L Тогда предыдущее равенство перейдет в такое:
2ir—5 . 2л — - г -- в*
ге— Mr* * е * .
Приравнивая аргументы левой и правой частей, убедимся что, действительно, изменению В* на гс соответствует изменение P на 2іт—8. прямая задача теории плоского движения
275
Имея преобразующую функцию (79), можем теперь установить связь между скоростями в точках В и В*. По ранее выведенным формулам получим:
^B* в в*
или, вычисляя производную по (79),
и—Ъ
Vb*= Vb ¦ 2^M ¦ (С—Cb*)," •
в*
Согласно гипотезе Чаплыгина, скорость Vb должна быть конечна, последний же сомножитель, поскольку 8<тг, обращается в нуль; следовательно, все произведение равно нулю. Отсюда вытекает важное заключение: если задняя острая кромка является точкой плавного стекания струй с конечной скоростью, то соответствующая задней кромке точка круга во вспомогательной плоскости должна быть критической.
Из этого условия найдем циркуляцию Г, если, используя (77), напишем, что скорость в точке В* равна нулю:
77 17 mOQvQOap , г 1 п
Ув*=\.1ї) =McoVco---5--[--7- = 0.
Полагая здесь:
^в* = OeiS Vco = I V00 I • егеоо,
где є0 — полярный угол точки В*, а — радиус круга С*, S00—угол, образованный скоростью на бесконечности с осями Ox или получим
Ztlco I K001 — Ztt001 V001 е* (6--2So) + ~ е-^ = О, откуда найдем
? (6CO-eO) {<есо—eO)
Г = —4Ttam001 Vrco I--2/-'
или, переходя от показательных функций к тригонометрическим,
Г = 4-Ram00 J V001 sin (є0 — Sco). (80)
Легко сообразить, что при обтекании, показанном на рис. 87, =° ^ єо> так как направление скорости на бесконечности параллельно рИНИи> соединяющей критические точки А* и В*; в этом случае 1 'С 0, т. е. наложенная циркуляция должна соответствовать вихрю,
18* 276
плоское безвихревое движениг жидкости
і пі. v
вращающему жидкость по часовой стрелке для наблюдателя, смотря, щего на чертеж.
Введем обозначение
Sco—є0 = а и перепишем формулу (80) в виде:
Г = — ікати, I Voa | sin а. (81)
Повернем по отношению к заданному потоку профиль так, чтобы и без наложения циркуляции (Г = 0) задняя кромка оказалась точкой плавного схода струй. Отметим на самом профиле в виде некоторой прямой KK (рис. 88а) направление скорости на бесконечности, соответствующее этому бесциркуляционному безотрывному обтеканию.
Жестко связанную с профилем прямую KK будем называть направлением бесциркуляционного обтекания, а соответствующее значение угла Bco==S0 —углом бесциркуляционного обтекания профиля.
Повернув профиль на угол а (рис. 88 б), получим вновь безотрывное, но уже циркуляционное обтекание с циркуляцией, определяемой равенством (81).
Острый угол а между направлением скорости набегающего потока и направлением бесциркуляционного обтекания KK будем в дальнейшем называть теоретическим углом атаки, в отличие от других общепринятых практических углов атаки, определяемых как углы между направлением скорости на бесконечности и „хордами" крыла, задаваемыми разнообразными способами.
Сравним между собою формулу (81) и формулу (61), которая давала значение циркуляции, накладываемой на пластинку для того, чтобы задняя ее кромка была точкой плавного схода струй. Формулы эти станут тождественными, если заметить, что направление бесциркуляционного обтекания пластинки совпадает с направлением самой пластцнки, а теоретический угол атаки а равен углу Bco скорости на бесконечности с осью Ох. В этом случае, производя отображение пластинки длины 2с на круг радиуса а, убедимся, что произведе-1
ние атсо равно е.
Прежде чем перейти к иллюстрации метода конформных отображений, выведем общие выражения главного вектора и момента сил давления, приложенных к обтекаемому контуру со стороны потока.
0) циркуляционное обтекание Рис. 88. ?. 43] ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО O ПОДЪЕМНОЙ СИЛЕ КРЫЛА
